Principios fundamentales de fuerza y stress

Fuerza y stress

Los movimientos dentro del manto y la corteza, activados termal y gravitacionalmente, son las causas principales de las fuerzas y campos de stress que resultan en el desarrollo de pliegues, fallas y estructuras menores de diferentes tipos.

Para entender los procesos mecánicos que originan estas estructuras, se debe introducir los conceptos de fuerza y stress.

Fuerza

La fuerza es usualmente definida como cualquier acción que altera o tiende a alterar el estado de reposo de un cuerpo o su movimiento a velocidad constante.

Cuando una fuerza actúa en un cuerpo, ésta puede ser especificada completamente si uno conoce:

• su dirección de acción en el espacio
• su magnitud

La fuerza es, por consiguiente, un vector.

La magnitud de una fuerza es medida por su efecto. Así, uno puede medir una fuerza por en peso que soportará. En dinámica, que es la rama de la mecánica que estudia el movimiento, la magnitud de una fuerza es medida por el movimiento que inducirá en un tiempo dado. Esto queda muy bien expresado por la Segunda Ley de Newton que sostiene:

F = ma.

Si se considera la aceleración de gravedad ( g = 9, 81 m/s²), la fuerza ejercida por una masa de 1 kg que reposa en superficie de la tierra es de 9, 81Newton.

Algunas unidades de fuerza son:

Newton = 1$$\left[\vphantom{\frac{kg* m}{s^{2}}}\right.$$$${\frac{{kg* m}}{{s^{2}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{kg* m}{s^{2}}}\right]$$

Dyna = 1$$\left[\vphantom{\frac{gr* m}{s^{2}}}\right.$$$${\frac{{gr* m}}{{s^{2}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{gr* m}{s^{2}}}\right]$$.

Si dos fuerzas actúan en un punto, entonces al ser vectores, ellas pueden ser combinadas gráficamente por el paralelógramo de fuerzas:

De manera análoga, una fuerza puede ser descompuesta en dos o más componentes. Esto último puede ser realizado de infinitas formas, pero en la mayoría de los análisis es necesario (o conveniente) resolver las fuerzas en dos direcciones perpendiculares entre sí.

La figura muestra una partícula rectangular, de masa M, descansando sobre un plano inclinado $\phi$ grados con respecto a la horizontal.

La fuerza $\overrightarrow{F}$ generada por esta masa M en el campo gravitacional actúa verticalmente. La magnitud de la componente de fuerza desestabilizante $\overrightarrow{F_{t}}$ que actúa tangencialmente a la superficie inclinada está dada por:

$$\phi$$ (6.1)

La magnitud de la componente normal al plano inclinado es:

$$\phi$$ (6.2)

Si el ángulo $\phi$ es pequeño, la componente de tracción (desestabilizante) es también pequeña y la partícula de masa M no deslizará, debido a la resistencia al movimiento generada por una fuerza friccional. Si el ángulo $\phi$ es gradualmente aumentado, F_t también aumenta y F_n disminuye. Cuando el ángulo $\phi$ alcanza un valor crítico $\phi_{{s}}^{}$ la resistencia al movimiento es sobrepasada y la partícula comienza a deslizarse. Este ángulo crítico es característico de los materiales que constituyen el plano inclinado y la partícula.

Experimentalmente se ha demostrado que cuando dos cuerpos están en contacto a lo largo de una superficie plana, la fuerza friccional que tiende a impedir el movimiento es proporcional a la reacción normal, o fuerza normal, que actúa en la superficie. Esta razón constante es denominada coeficiente de fricción interna $\mu$:

$$\mu {\frac{{F_{t}}}{{F_{n}}}} {\frac{{F \sin\phi_{s}}}{{F \cos\phi_{s}}}}$$ (6.3)

Como veremos más adelante, el concepto de fricción juega un importante papel en la mecánica de movimientos en fallas y fracturas.

Stress

Si un cubo de granito de lado = 25 cm se sometiera a una fuerza compresiva de 10000 kg (10 toneladas), igualmente distribuida en toda la cara, sólo se observaría una deformación infinitesimal (strain). Sin embargo, si se aplicara la misma carga a un cubo del mismo material, pero de lado = 1/20 del largo anterior, es decir de lado = 1 cm, el cubo menor sería pulverizado por la acción de esta fuerza. La magnitud de la fuerza aplicada es la misma en ambos casos y la diferencia de comportamiento en los dos cubos es el resultado de la diferencia de stress inducido por la fuerza en cada caso.

Stress se define como fuerza por unidad de área:

$${\frac{{F}}{{A}}}$$ (6.4)

En el ejemplo anterior el stress en el cubo grande fue:

$$\begin{split} S &= \frac{10000\ (kg) \times 9,81\ \left(\fra... ...left(\frac{N}{m^{2}}\right)\\ \\ S &= 1,6\ (MPa). \end{split}$$

En el cubo pequeño:

$$\begin{split} S &= \frac{10000\ (kg) \times 9,81 \left(\frac{... ...left(\frac{N}{m^{2}}\right)\\ \\ S &= 627\ (MPa). \end{split}$$

Se puede ver entonces que el stress en el cubo pequeño excede la resistencia a la compresión del granito, en cambio en el cubo grande, el stress aplicado no es suficiente para romper el cubo. La resistencia a la compresión uniaxial teórica del granito es de 100 a 200 MPa.

Unidades de stress

$$\begin{split} S &= \frac{F}{A}\\ &\\ 1\ \left(\frac{N}{m^{2... ...\frac{kN}{cm^{2}}\right)\\ 1\ (bar) &= 0,1\ (MPa). \end{split}$$

Prefijos:

$$\begin{split} \text{kilonewton}\ (kN) &= 1000\ N = 10^{3}\ N\... ...ext{Giganewton}\ (GN) &= 1000000000\ N = 10^{9}\ N. \end{split}$$

En el ejemplo mencionado, se asumió que la dirección de acción de la fuerza era perpendicular a la superficie del cubo y por lo tanto, no había componente de fuerza actuando tangencialmente a las superficies del cubo. El stress que actúa perpendicular a una superficie se define como stress principal cuando el stress de cizalle total actuando en esa superficie es cero.

Si hay sólo un stress principal actuando en un cuerpo y éste es compresivo, se denomina compresión uniaxial. Si hay dos o más stresses actuando en un cuerpo, la condición se denomina compresión biaxial o triaxial, respectivamente.

Las direcciones en las que actúan los stresses principales son siempre ortogonales entre sí.

Si consideramos en un cuerpo un plano tal que se encuentra inclinado con respecto a la dirección de la fuerza aplicada o stress principal, es claro que la fuerza $\overrightarrow{F}$ puede descomponerse en una componente actuando normal y otra paralela al plano interno. Estas se corresponden con un stress normal (S_n) y otro de cizalle ($\tau$).

A menudo es conveniente representar los stresses en un sistema de tres coordenadas que posea una coordenada vertical y las otras dos en un plano horizontal. Por convención, el subíndice z se usa para indicar es stress que actúa en la vertical (S_z). Los otros dos stresses, que actúan paralelos a las direcciones $\widehat{{x}}$ e $\widehat{{y}}$ son (S_x) y (S_y). Cuando se usa esta terminología, los stresses S_x, S_y y S_z no son necesariamente stresses principales. Los stresses de cizalle también pueden ser representados en el mismo sistema de coordenadas. La nomenclatura usada se muestra en la figura. El primer subíndice indica el plano donde actúa S_x y el segundo la dirección de acción del stress de cizalle.

Por convención, los stresses normales compresivos son considerados positivos y los de tracción negativos. Los stresses de cizalle que actúan en sentido de los punteros del reloj son negativos (producen rotación horaria) y los que actúan en sentido antihorario son considerados positivos (rotación antihoraria).

Cuando se analiza procesos mecánicos pertinentes al desarrollo de estructuras geológicas, es usual asumir en trabajos con stress que el strain es irrotacional o que el elemento rota tan lentamente que puede ser considerado irrotacional.

Si un stress de cizalle ($\tau$) actúa sobre todos los lados de largo a de un elemento, la fuerza de cizalle en los lados $\overline{{AB}}$ y $\overline{{CD}}$ tiene magnitud

$$\tau_{{xy}}^{}$$×a.

Como estas fuerzas actúan a una distancia a, forman un par de fuerzas capaces de hacer rotar el cuerpo.

Se asume que el cuerpo no rota y que está en equilibrio:

$$\tau_{{yx}}^{}$$ = - $$\tau_{{xy}}^{}$$.

Así, en problemas bidimensionales sólo tres stresses son requeridos ( S_x, S_y y $\tau$) para definir completamente un sistema de stress que actúa en un elemento.

Lo anterior demuestra que en problemas bidimensionales, si se conoce S_x, S_y y $\tau$ actuando en dos superficies, es posible calcular la orientación y magnitud de los dos stresses principales.

Consideremos un prisma triangular de espesor unitario y lados de largo a, b y c, con S_x y S_z actuando perpendicularmente a a y c respectivamente.

$$\begin{split} \sin\theta &= \frac{h_{z}}{S_{p}\times b}\\ \\... ...theta &= \frac{h_{\text{vertical}}}{S_{p}\times b}. \end{split}$$

Supongamos que el lado c forma un ángulo $\theta$ con el lado b y que el stress S_p actuando en b es un stress principal $\Longrightarrow$ S_p es normal a b.

Como el espesor del prisma es unitario, las áreas de los tres lados son a, b y c. Si multiplicamos es stress por el área obtendremos una fuerza:

$$\tau$$ = $${\frac{{F}}{{A}}}$$ $$\Rightarrow$$ F = A ^. $$\tau$$.

Consideraremos que la fuerza resultante actúa en el centro del área $\Longrightarrow$ la fuerza actuando en b = S_p ^. b.

Las componentes horizontal y vertical de la fuerza deben estar en equilibrio en el prisma

$$\Longrightarrow$$ S_p ^. b sin$$\theta$$ = S_x ^. a + $$\tau$$×c

(componentes h_z) o

S_p ^. b sin$$\theta$$ = S_x ^. $${\frac{{a}}{{b}}}$$  +  $$\tau$$×$${\frac{{c}}{{b}}}$$,

pero

$$\begin{split}\frac{a}{b} \ &=\ \sin\theta \ \Longrightarrow \... ...rac{\cos\theta}{\sin\theta} \ =\ \tau \ \cot\theta. \end{split}$$ (6.5)

Si consideramos las componentes verticales:

$$\begin{split} &S_{p} \cdot \cos\theta \ -\ \tau \cdot a \ -\ ... ...\tau \cdot \frac{a}{b} \ +\ S_{z} \cdot \frac{c}{b} \end{split}$$

de (6.5)

$$\begin{split}S_{p} \cos\theta \ &=\ \tau\ \sin\theta \ +\ \ S... ...ghtarrow \ \ S_{p} - S_{z} \ &=\ \tau \ \tan\theta. \end{split}$$ (6.6)

Si multiplicamos (6.5) ^. (6.6) $\Longrightarrow$

$$\begin{split} (S_{p} - S_{z})\ (S_{p} - S_{x})\ &=\ \tau\ \ta... ... + S_{z})S_{p} + (S_{z}S_{x} - \tau^{2} \ &=\ 0\\ \end{split}$$

$$\begin{split} S_{p} &=\ \frac{1}{2}\ \left\{ (S_{x} + S_{z}) ... ...- S_{z})^{2} + 4\tau^{2}\ ]^\frac{1}{2}\ \right\}. \end{split}$$

$\Longrightarrow$ si las raíces son reales $\Longrightarrow$ los valores de los dos stresses principales pueden ser calculados.

Para determinar la orientación de esos stresses principales es necesario determinar el ángulo $\theta$.

Restando (6.5) - (6.6) $\Longrightarrow$

$$\begin{split} \{\ S_{p} - S_{x} &=\ \tau\ \cot\theta\ \}\\ ... ...au\ (\cot\theta - \tan\theta) = 2\tau \cot2\theta. \end{split}$$

Pero

$$\begin{split} \cot\theta - \tan\theta = \frac{\cos\theta}{\si... ...2}\theta - \sin^{2}\theta}{\sin\theta\ \cos\theta}. \end{split}$$

Como

$$\begin{split} \sin2\theta &= 2\sin\theta\cos\theta\\ \cos2\theta &= \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta \end{split}$$

$\Longrightarrow$

$${\frac{{\cos2\theta}}{{\frac{1}{2} \sin2\theta}}}$$ = 2 $${\frac{{\cos2\theta}}{{\sin2\theta}}}$$ = 2 cot 2$$\theta$$

$\Longrightarrow$

$$\begin{split} S_{z} - S_{x} &=\ 2\tau\cot2\theta\\ \cot2\theta &=\ \frac{S_{z} - S_{x}}{2\tau}. \end{split}$$

De las relaciones trigonométricas se sabe que

$$\begin{split} \cot2\theta\ &=\ \cot\ (2\theta + 180^{0})\\ \... ...c{\cos2\theta}{\sin2\theta}\\ \\ &=\ \cot2\theta. \end{split}$$

Así, los datos de stress dan origen a dos ángulos $\theta$ y ($\theta$ - 90⁰) que definen la orientación de los stresses principales.

Conociendo S_z, S_x y $\tau$ los valores y la orientación de los stresses principales pueden ser determinados.

Alternativamente, si se conoce la magnitud y orientación de los stresses principales, se puede determinar fácilmente los valores de los stresses normales y de cizalle actuando en un plano que forma un ángulo $\theta$ con el eje de stress principal.

Consideremos un prisma rectangular sometido a compresión uniaxial. Una fuerza $\overrightarrow{F}$ actúa normal a las superficies superior e inferior del prisma, que tienen un área A (cada una).

Stress principal =  S_z = ${\frac{{F}}{{A}}}$.

Si consideramos la superficie interna GHIJ, orientada de manera que forma un ángulo $\theta$ con el eje de stress principal, se puede ver que la fuerza $\overrightarrow{F}$ tiene una componente F_n normal a la superficie interna tal que

F_n = F sin$$\theta$$.

sin$$\theta$$ = $${\frac{{F_{n}}}{{F}}}$$

cos$$\theta$$ = $${\frac{{F_{t}}}{{F}}}$$.

De manera análoga, la fuerza $\overrightarrow{F}$ tiene una componente de tracción F_t paralela a la superficie, donde

F_t = F cos$$\theta$$.

En la figura se puede ver que el área A' del plano interno es mayor que el área A de las caras externas del prisma.

A' = $${\frac{{A}}{{\sin\theta}}}$$.

Usando estas relaciones, se puede determinar el stress normal (S_n) actuando en el plano interno.

S_n  =  $${\frac{{F_{n}}}{{A'}}}$$  =  $${\frac{{F\sin\theta}}{{\frac{A}{\sin\theta}}}}$$  =  $${\frac{{F}}{{A}}}$$×sin²$$\theta$$  = I>S_zsin²$$\theta$$.

$\Longrightarrow$

$$\theta$$ (6.7)

El stress de cizalle en el plano interno será

$$\tau$$  =  $${\frac{{F_{t}}}{{A'}}}$$  =  $${\frac{{F\cos\theta}}{{\frac{A}{\sin\theta}}}}$$  =  S_zsin$$\theta$$cos$$\theta$$.

$\Longrightarrow$

$$\tau \theta \theta$$ (6.8)

Las ecuaciones (6.7) y (6.8) son las ecuaciones de stress uniaxial y dan el stress normal y de cizalle en cualquier plano inclinado un ángulo $\theta$ con respecto al stress principal.

Compresión biaxial

Consideremos ahora la condición de compresión biaxial. El stress normal que actúa sobre la superficie interna (S_n) tiene dos componentes de stress normal, una debido a S_x y la otra a S_z  $\Longrightarrow$ S_n = S_nz + S_nx.

En el caso uniaxial S_nz = S_zsin²$\theta$. De manera análoga y a partir de la figura:

$$\begin{split} S_{x} &=\ \frac{F_{x}}{A}\\ \\ S_{nx} &=\ \fr... ...heta}{\frac{A}{\cos\theta}} =\ S_{x}\cos^{2}\theta \end{split}$$

$$\Longrightarrow \theta \theta$$ (6.9)

Si los stresses principales son compresivos y S_z > S_x, entonces las componentes de cizalle $\tau_{{x}}^{}$ y $\tau_{{z}}^{}$ tienen distinto sentido (en el plano).

El stress de cizalle total será: $\tau_{{z}}^{}$ - $\tau_{{x}}^{}$ = $\tau$ y aplicando la ecuación del caso uniaxial queda:

$$\tau \theta \theta$$ (6.10)

Las ecuaciones (6.9) y (6.10) son las ecuaciones de stress biaxial.

Siempre es conveniente expresar las ecuaciones en términos del ángulo doble.

sin 2$$\theta$$ = 2 sin$$\theta$$cos$$\theta$$ $$\Rightarrow$$  sin$$\theta$$cos$$\theta$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$sin 2$$\theta$$.

La ecuación (6.10) queda

$$\tau {\frac{{S_{z} - S_{x}}}{{2}}} \theta$$ (6.11)

Sabemos también que

$$\begin{split} \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta &= \cos2\theta\\ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta &= 1. \end{split}$$

Sumando estas ecuaciones:

2 cos²$$\theta$$ = 1 + cos 2$$\theta$$  $$\Rightarrow$$   cos²$$\theta$$ =  $${\frac{{1 + \cos2\theta}}{{2}}}$$.

Y restándolas:

2 sin²$$\theta$$ = 1 - cos 2$$\theta$$  $$\Rightarrow$$   sin²$$\theta$$ =  $${\frac{{1 - \cos2\theta}}{{2}}}$$.

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (6.9):

(S_n =  S_nz + S_nx =  S_zsin²$$\theta$$ + S_xcos²$$\theta$$)

$$\begin{split} S_{n} &= S_{z}(\frac{1 - \cos2\theta}{2}) - S_{... ...{2} + \frac{S_{x}}{2} +\ \frac{S_{x}\cos2\theta}{2} \end{split}$$

$${\frac{{S_{z} + S_{x}}}{{2}}} {\frac{{S_{z} + S_{x}}}{{2}}} \theta$$ (6.12)

Las ecuaciones (6.11) y (6.12) son particularmente importantes, porque permitieron una solución gráfica para problemas de stress mediante una técnica desarrollada por Otto Mohr.

$$% latex2html id marker 14190 \begin{split} \tau = \frac{S_{z... ...c{S_{z} + S_{x}}{2} \cos2\theta. \ \ \ \ &(\ref{6}) \end{split}$$

Mohr graficó $\tau$ v/s S_n.

Conociendo las magnitudes de los stresses principales, puede determinarse S_n y $\tau$ en cualquier plano dentro del cuerpo.

Si se plotean todos los valores de $\sigma$,$\tau$ distintos de $\theta$ resulta un círculo conocido como ``círculo de Mohr de stress".

Un punto en el círculo representa S_n y $\tau$ actuando en un plano inclinado $\theta$ con respecto a S_principal máximo.

Como no existe $\tau$ en los planos perpendiculares al stress principal (definición de stress principal), entonces los stresses principales se ubican en el eje $\tau$ = S, con $\tau$ = 0.

El círculo de Mohr representa entonces el estado de stress de cualquier plano dentro de un cuerpo sometido a dos stresses principales. Denominaremos S₁ al stress principal máximo y S₃ al stress principal mínimo.

Del gráfico es posible determinar que el centro del círculo se ubica en las coordenadas (${\frac{{S_{1} + S_{3}}}{{2}}}$, 0) y que el radio es ${\frac{{S_{1} - S_{3}}}{{2}}}$.

La magnitud de $\tau_{{a}}^{}$ está dada por el trazo $\overline{{aP}}$:

$$\begin{split} \sin2\theta &= \frac{\overline{aP}}{radio} \ \ ... ...\tau &= \frac{S_{1} - S_{3}}{2} \times \sin2\theta. \end{split}$$

La magnitud de S_na = $\overline{{OP}}$ = centro - $\overline{{CP}}$ y

$$\begin{split} \frac{\overline{CP}}{radio} &= \cos2\theta\\ \... ... + S_{3}}{2} - \frac{S_{1} - S_{3}}{2} \cos2\theta. \end{split}$$

De este modo, si conocemos S₁ y S₃ de un sistema, podemos construir el círculo de Mohr que representa el estado de stress ( S_n,$\tau$) de cualquier plano.

El círculo es útil también para determinar los valores de S₁ y S₃, conociendo S_n y $\tau$ que actúan en dos superficies de orientación conocida (que forman un ángulo de 90⁰ entre ellas).

Si S_z, S_x y $\tau$ son causados por un mismo estado de stress (S₁, S₃), los puntos (S_x, - $\tau$) y (S_z,$\tau$) pertenecen al círculo de Mohr. Por lo tanto, si se unen se encuentra el centro C y el radio del círculo. Dibujando el círculo, en la intersección de éste con el eje S se obtiene S₁ y S₃. Se puede obtener también el ángulo 2$\theta$, osea el ángulo $\theta$ entre S₁ con S₂ y/o S_x.

Veamos un ejemplo: determinar S₁, S₃ y el ángulo que forma EF con S₁ (orientación).

Del gráfico:

$$\begin{split} \text{centro} &= 170\ MPa\\ S_{3} &= 50\ MPa\\... ...a\\ \text{radio} &= \frac{290 - 50}{2} = 120\ MPa. \end{split}$$

Nota:

por convención el ángulo $\theta$ es positivo hacia la derecha de S₁ y negativo hacia la izquierda de S₁.

Figura 6.1: Plano en que S_n es perpendicular.

$$\begin{split} &\sin(-2\theta_{2}) = \frac{-\tau}{\text{radio}... ...0}\ \ \Rightarrow\ \vert\theta_{1}\vert = 56,8^{0}. \end{split}$$

$\theta_{{2}}^{}$ hacia la izquierda de S₁ $\Rightarrow$

$$\begin{split} \theta_{1} &= 56,8^{0}\\ \theta_{2} &= -33,2^{0}. \end{split}$$

Es decir, z representa al plano donde S_n = 220 MPa y $\tau$ = 110 MPa, que se ubica a +56, 8⁰ de S₁.

Círculos de Mohr

Los círculos de Mohr representan el estado de stress tridimensional con
$\sigma_{{1}}^{}$ > $\sigma_{{2}}^{}$ > $\sigma_{{3}}^{}$.

El círculo mayor representa los stresses en planos perpendiculares al plano S₁S₃.

El círculo menor representa los stresses determinados por el sistema S₁, S₂ y S₃ en planos perpendiculares al plano S₂S₃.

De lo anterior se puede concluir que el estado de stresses mayor ocurre en planos perpendiculares al plano S₁S₃ y por eso se usa el análisis el 2-D, considerando los stresses máximo y mínimo del sistema.

Ejemplo:

Supongamos que el stress en un punto está caracterizado por

$$\begin{split} \sigma_{1}\ \text{direcci\'{o}n EW, horizontal}... ...0\ MPa\\ \sigma_{3}\ \text{vertical}\ &=\ 10\ Mpa. \end{split}$$

Se pide encontrar S_n y $\tau$ en un plano de falla de $\rho$ = NS y $\mu$  =  80⁰E.

radio  =  10 MPa

centro  =  c  =  20 MPa

$\tau$  =  sin 20× radio =  3, 4 MPa

S_n  =  20 MPa + 10 cos 20  =  29, 4 MPa.

Signos en el círculo de Mohr

1. Stress normal compresivo es positivo y plotea a la derecha del origen.
2. Stress normal extensivo (tracción) el negativo y plotea a la izquierda del origen.
3. Stress de cizalle en sentido horario es negativo y plotea bajo el eje S.
4. Stress de cizalle que actúa en sentido antihorario es positivo y plotea sobre el eje S.

Para cualquier estado de stress es evidente que la magnitud absoluta de los stresses de cizalle es máxima en dos planos que son perpendiculares entre sí.

Los planos se ubican a +2$\theta$  =  90⁰ de $\sigma_{{1}}^{}$ y a -2$\theta$  =  90⁰ de $\sigma_{{1}}^{}$.

$\alpha$  =  180⁰, pues en el círculo se expresa el doble del ángulo (ángulo entre los planos =  ${\frac{{180^{0}}}{{2}}}$  = 0⁰).

La magnitud absoluta que corresponde al radio del círculo es ${\frac{{S_{1} - S_{3}}}{{2}}}$.

Para cualquier par de planos perpendiculares, los puntos correspondientes a S_n y $\tau$ plotean siempre en puntos diametralmente opuestos en el círculo de Mohr.

Clases de stress

El estado de stress en dos dimensiones (2-D) puede ser clasificado como:

Tensión hidrostática:

Stresses en todos los planos son de tracción y de igual magnitud (existencia poco probable).

Tensión general:

Los stresses principales son de tracción.

Tensión uniaxial:

Sólo un stress es distinto de 0 y éste es de tracción.

Tensión y compresión:

Uno de los stresses el compresivo, el otro es de tracción.

Cizalle simple:

Caso especial de tensión/compresión, en que S₁  =   - S₃, por lo cual los planos de cizalle máximo tienen S  =   0 (recordar definición de cizalle simple).

Compresión uniaxial:

Uno de los stresses es distinto de 0 (en particular, mayor que 0).

Compresión general:

S1	>	S3	>	0
S1	>	S2	>	S3	>	0.

Compresión hidrostática:

Stress compresivo igual en todos los planos ($\sigma_{{1}}^{}$  =  $\sigma_{{2}}^{}$  =  $\sigma_{{3}}^{}$  >  0).

Elipse de stress (elipsoide en tres dimensiones)

En un punto p de un cuerpo rocoso hay planos P en un número infinito de orientaciones diferentes. Para cada uno de estos planos, hay dos valores de stress normal dirigidos en distinto sentido.

Si dibujamos esta familia de vectores de stress alrededor de p obtendremos una elipse de ejes S₁ y S₃ que coinciden con las direcciones de stress principal.

Estos valores satisfacen la ecuación

S_n  =  S_nx  +  S_nz  =  S_zsin²$$\theta$$  +  S_xcos²$$\theta$$.

Análogamente, para el caso triaxial, se consideran los tres vectores en torno a un punto p.

Para diferentes estados de stress el elipsoide será distinto:

$$\begin{split} \text{Stress\ hidrost\'{a}tico}\ \Rightarrow\ \... ...a_{3}\\ &\text{(diferentes\ estilos\ de\ elipse)}. \end{split}$$

En general, es conveniente considerar un stress no hidrostático como uno constituido por dos partes:

1. Stress medio ($\overline{{S}}$): Sólo responsable de cambios de volumen (es decir, la parte hidrostática del stress).
   $$\overline{{S}}$$  =  $${\frac{{S_{1} + S_{2} + S_{3}}}{{3}}}$$

2. Stress desviatorio (S'): Medida de cuánto se desvía de la media un stress normal en cualquier dirección. Éste el responsable de la deformación (distorsión).
   S'_i  =  S_i - $$\overline{{S}}$$.

Stress diferencial (o diferencial de stress) (S₁ - S₃):

Medida de la habilidad de un campo de stress para causar deformación.

Tensor de stress

Un tensor es una matriz (matemática) que puede ser usada para describir el estado o las propiedades físicas de un material. Un tensor de segundo grado en tres dimensiones (3-D) tiene 9 componentes. Los ejemplos más importantes de tensores en geología estructural son stress y strain. Los tensores de segundo grado son usados para describir cantidades físicas que tienen magnitudes y que están asociadas con dos direcciones. Para el tensor de stress, por ejemplo, las dos direcciones asociadas con cada componente son la orientación de la normal al plano en el cual actúa el componente y la orientación de el componente de stress que actúa en ese plano.

$$\sigma_{{ij}}^{}$$  = tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay14393#
$$\begin{array}{c c c} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \... ...& \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c c c} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & ... ..._{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{array}}\right]$$       tex2html_image_mark>#displaymath_indisplay14397#

En dos dimensiones, sólo 3 independientes:

$$\sigma_{{ij}}^{}$$  =  $$\left[\vphantom{ \begin{array}{c c} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c c} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c c} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} \end{array}}\right]$$

Para conocer el estado de stress en un cuerpo, es decir, el estado de stress en cualquier plano dentro de él, se debe conocer el stress en tres planos ortogonales entre sí. De esta manera se obtiene nueve componentes, tres de stress normal y seis de cizalle. Debido a la condición de equilibrio (torque = 0), sólo tres de estos componentes de stress son independientes.

Por ejemplo, $\sigma_{{xy}}^{}$ es un stress de cizalle que actúa en el plano donde actúa x, en la dirección y; $\sigma_{{xx}}^{}$ es el stress normal que actúa en el plano perpendicular a x, en la dirección x. La cantidad es el estado de stress en un punto, en contraste con ($\sigma_{{n}}^{}$,$\sigma_{{x}}^{}$,$\sigma_{{y}}^{}$), que es el estado de stress en un plano particular que pasa por el punto. Si se conoce $\sigma_{{ij}}^{}$ se puede obtener el estado de stress en un plano de cualquier orientación.

Cuando el elipsoide de stress es paralelo a los ejes coordenados no hay stresses de cizalle actuando y por lo tanto, la matriz queda

$$\sigma_{{ij}}^{}$$  = tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay14419#
$$\begin{array}{c c c} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c c c} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{array}}\right]$$    $$\left(\vphantom{ \text{en dos dimensiones}\ \sigma_{ij}\ =\ \left[ \begin{array}{c c} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{array}\right] }\right.$$en dos dimensiones $$\sigma_{{ij}}^{}$$  = tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay14424#
$$\begin{array}{c c} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c c} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{array}}\right]$$$$\left.\vphantom{ \text{en dos dimensiones}\ \sigma_{ij}\ =\ \left[ \begin{array}{c c} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{array}\right] }\right)$$

Las ecuaciones para dos de los componentes del tensor de stress de segundo grado son

$$\begin{split} \sigma_{n}\ &=\ \sigma_{1}\cos^{2}\theta\ +\ \s... ... &=\ (\sigma_{1} - \sigma_{3})\sin\theta\cos\theta. \end{split}$$

De manera que si conocemos $\sigma_{{1}}^{}$ y $\sigma_{{3}}^{}$ podemos determinar las componentes normal y de cizalle en un plano, de cualquier orientación que pasa por ese punto.

Trayectorias de stress

Son líneas paralelas a la orientación de los stresses principales. Éstas sirven para representar las variaciones tridimensionales del estado de stress.

Stress tridimensional en un punto

La descripción de tres stresses actuando en un punto es una extrapolación directa de la descripción en dos dimensiones. En el caso simple, en el cual todos los componentes normales de los stresses tienen el mismo signo, el stress en un punto es representado por un elipsoide de stress. Los ejes mayor, intermedio y menor de este elipsoide son paralelos a los ejes coordenados principales. Ellos representan, respectivamente, los stresses principales máximo, intermedio y mínimo, S₁  >  S₂  >  S₃.

Componentes del esfuerzo

Para fijar el estado de esfuerzo, se fija en principio tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí (x, y, z) y luego se considera los esfuerzos que actúan sobre un elemento cúbico del cuerpo cuando se aplica una fuerza. Se supone que el estado de esfuerzo es homogéneo para todo el elemento y que el cuerpo está en equilibrio. Los esfuerzos que actúan sobre cada cara pueden resolverse según tres componentes, un esfuerzo normal y un esfuerzo de cizalle, el cual a su vez puede resolverse según dos componentes paralelas a las direcciones de dos de los ejes coordenados. En total hay nueve cantidades que actúan sobre las caras del cubo. Estas cantidades son lo que se conoce como componentes del esfuerzo.

Si se conocen todas ellas, el estado de esfuerzo del cubo elemental queda totalmente definido.

Dado que el cubo elemental está en equilibrio, las fuerzas deben equilibrarse y por lo tanto, no habrá movimientos de rotación. Si consideramos que no hay rotación en torno al eje z, entonces

$$\tau_{{yx}}^{}$$  =  $$\tau_{{xy}}^{}$$.

Análogamente, para que no exista rotación en torno a los ejes x e y debe cumplirse que

$$\tau_{{yz}}^{}$$  =  $$\tau_{{zy}}^{}$$ y $$\tau_{{zx}}^{}$$  =  $$\tau_{{xz}}^{}$$.

Por esta razón, de los nueve componentes del esfuerzo sólo seis son independientes y cualquier sistema y estado del esfuerzo en un punto dado puede expresarse en función de los seis parámetros independientes.

En el caso bidimensional, es decir, considerando que los esfuerzos paralelos a un eje son nulos, los componentes del esfuerzo son sólo cuatro. Por ejemplo, cuando los esfuerzos paralelos al eje z son cero:

$$\left[\vphantom{ \begin{array}{c c} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c c} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c c} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{array}}\right]$$    con sólo 3 variables independientes entre sí.

En el caso en que los tres stresses principales sean paralelos a los ejes coordenados, los componentes son

$$\left[\vphantom{ \begin{array}{c c c} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c c c} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c c c} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{array}}\right]$$

Tratectorias de esfuerzo

Las variaciones tridimensionales en el estado de esfuerzos que existen en un cuerpo se aprecian más fácilmente si se considera que el sistema de los ejes principales del esfuerzo varía en orientación y en valor. Las líneas ortogonales que representan las direcciones de los esfuerzos principales se conocen como trayectorias del esfuerzo.

En los problemas en dos dimensiones, los dos conjuntos de líneas ortogonales que representan las direcciones de los esfuerzos máximo y mínimo, pueden representarse de una manera muy sencilla. Si la curvatura de estas líneas varía de modo que las trayectorias adyacentes se aproximen unas a otras, entonces esto indica una concentración del esfuerzo en esta región. Todos los puntos en los que los esfuerzos principales tienen valores iguales, se conocen como puntos isótropos.

Figura 6.2: Trayectorias del esfuezo en un: punto isótropo positivo (se entrelazan las trayectorias) y en un punto isótropo negativo (las trayectorias divergen).

Fluidos en las rocas y la importancia de los stresses efectivos

En la corteza los fluidos más comunes son el agua, la salmuera y los hidrocarburos.

La influencia de los fluidos en la resistencia de las rocas es considerable. Inicialmente se comprobó que la resistencia de un cristal seco es diez veces mayor a la del mismo en estado húmedo. Price (1960) y otros concluyeron que la resistencia uniaxial de una roca completamente saturada era s'olo un 45% de su resistencia cuando se secaba en horno.

La influencia de los fluidos en la resistencia de una roca se asocia a efectos químicos y mecánicos. El efecto químico (o Rehbinder) está relacionado con la pérdida de energía superficial de las paredes de los poros producida por el agua absorbida. Si hay una condición de stress favorable, las microfracturas tienden a propagarse. El agua absorbida también produce, a elevadas temperaturas, migración de soluciones inorgánicas y disolución. Este efecto químico es común en la naturaleza. Sin embargo, sus efectos son pequeños cuando se compara con la influencia mecánica de las presiones de fluidos.

Los efectos mecánicos son:

1. La presión de fluidos reduce la habilidad de la roca de soportar los efectos del stress diferencial (es decir, altas presiones de fluidos reducen la resistencia de la roca).
2. La presión de fluidos influye en el modo de deformación (es decir, a presiones confinantes bajas y presiones de fluidos bajas las rocas se pueden deformar como material dúctil, pero cuando la presión de fluidos se aproxima a la magnitud de la presión confinante la roca tiende a comportarse de manera frágil.

Estas situaciones aparecen ilustradas en la figura, donde la presión de fluidos (p) está expresada como una proporción de la presión confinante total (S₃), tal que $\lambda_{{e}}^{}$  = tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline14471#
.

Stress efectivo

Consideremos un agregado granular, poroso, sujeto a una compresión S en todas direcciones, tal que en el agregado hay stresses y se desarrolla en el fluido intersticial una presión de fluidos p.

En su forma más simple, la relación entre estos stresses es

S  -  p  =  $$\sigma{^\prime}$$

donde $\sigma{^\prime}$ es el stress efectivo responsable de la deformación de la masa granular.

Esta relación entre los stresses total y efectivo puede ser demostrada mediante un ensayo. En éste, los stresses totales S₁ y S₃ son aplicados externamente y una presión de fluidos constante es mantenida por una bomba. Los stresses efectivos principales son

$$\sigma_{{1}}{^\prime}$$  =  S₁  -  p    y    $$\sigma_{{3}}{^\prime}$$  =  S₃  -  p.

Los stresses normales y de cizalle (S_n y $\tau$) en una superficie interna, que forma un ángulo $\theta$ con el eje de compresión máxima, son

$$\begin{split} S_{n}\ &=\ \frac{S_{1}\ +\ S_{3}}{2}\ -\ \frac{... ...\\ \tau\ &=\ \frac{S_{1}\ -\ S_{3}}{2}\sin2\theta. \end{split}$$

Si se escribe estas ecuaciones en términos de stress efectivo quedan

$$\begin{split} \sigma_{n}'\ &=\ \frac{(S_{1}\ -\ p)\ +\ (S_{3}... ...s2\theta}{2}\ -\ p\\ \sigma_{n}'\ &=\ S_{n}\ -\ p \end{split}$$

y

$$\begin{split} \tau_{r}\ &=\ \frac{(S_{1}\ -\ p)\ -\ (S_{3}\ -... ...1}\ -\ S_{3})}{2}\sin2\theta\\ \tau_{r}\ &=\ \tau. \end{split}$$

Por lo tanto, la presión de fluidos reduce el stress normal que actúa en un plano arbitrario, pero no afecta al stress de cizalle.

Esta relación puede ser vista si los stresses totales y efectivos son ploteados en un círculo de Mohr

Entonces, si hay fluidos en el material, el círculo de los stresses totales se desplaza hacia la izquierda en una cantidad igual a la presión de fluidos p desarrollada en el sistema. Ése es el círculo de Mohr en términos de los stresses efectivos.

Es stress diferencial (S₁  -  S₃)  =  ($\sigma_{{1}}{^\prime}$  -  $\sigma_{{3}}{^\prime}$), se mantiene constante, lo mismo que $\tau$.

La deformación de rocas en general, y especialmente la iniciación y desarrollo de fracturas, se relaciona con los stresses efectivos.