Ruptura frágil

Relación entre los stresses principales en la ruptura

Muchas rocas competentes ensayadas en condiciones de compresión triaxial ($\sigma_{{1}}^{}$  >  $\sigma_{{2}}^{}$  =  $\sigma_{{3}}^{}$  >  0) hasta la ruptura, presentan una relación empírica lineal entre los stresses principales

$$\sigma_{{1}}^{} \sigma_{{0}}^{} \sigma_{{3}}^{}$$ (7.1)

donde $\sigma_{{0}}^{}$ es la resistencia a la compresión uniaxial, es decir, la resistencia de la roca cuando se la aplica un stress $\sigma_{{1}}^{}$  >   0 y $\sigma_{{3}}^{}$  =   0; k es una constante.

En este tipo de ensayos el especimen se rompe usualmente según un plano único (en cizalle). Sin embargo, ocasionalmente, especímenes muestran dos planos de cizalle conjugados con sentido de cizalle opuesto. El ángulo agudo entre ellos (2$\theta$) es bisectado por el stress máximo $\sigma_{{1}}^{}$.

Cuando la roca exhibe una relación lineal entre los stresses principales en la ruptura, el ángulo 2$\theta$ es constante para todos los valores de presión confinante.

Otras rocas presentan una relación no lineal entre los stresses principales en la ruptura. En ellas, el ángulo 2$\theta$ no es constante, sino que aumenta a medida que la presión confinante aumenta ($\sigma_{{3}}^{}$).

Con el fin de explicar la diferencia entre las relaciones experimentales de los stresses principales en la ruptura, se ha propuesto dos criterios: criterio de ruptura frágil de Navier-Coulomb y criterio de ruptura frágil de Griffith.

Criterio de Navier-Coulomb para ruptura frágil

Este criterio de ruptura de cizalle frágil está basado en la ley de deslizamiento friccional (Ley de Amonton) que dice

$$\tau$$  =  $$\sigma_{{n}}^{}$$tan$$\phi$$

donde $\tau$ y $\sigma_{{n}}^{}$ son los stresses normal y de cizalle actuando en el plano de ruptura potencial y $\phi$ es el ángulo de fricción interna de ese plano (ángulo de deslizamiento).

Se ha reconocido además que, con anterioridad al desarrollo del plano de fractura, la cohesión (c_o) de la roca tiene que ser sobrepasada. Entonces, el criterio puede ser expresado como

$$\tau$$  =  c₀  +  $$\sigma_{{n}}^{}$$tan$$\phi$$.

La relación entre el ángulo de fricción interna y el coeficiente de fricción ($\mu$) está dada por

$$\mu$$  =  tan$$\phi$$  =  $${\frac{{\tau}}{{\sigma_{n}}}}$$

y el criterio completo de ruptura de cizalle puede escribirse como

$$\tau \sigma_{{n}}^{} \mu$$ (7.2)

En el caso simple, en 2-D, se asume que el stress $\sigma_{{2}}^{}$, que actúa en el plano de cizalle a 90⁰ de la dirección de cizalle, no tiene, teóricamente influencia en la ruptura.

Se ha indicado que los stresses pueden ser representados mediante círculos de Mohr y que además para algunas rocas existe una relación lineal entre los stresses principales en la ruptura. Si se dibuja todos los círculos de Mohr que representan los pares de stresses principales, $\sigma_{{1}}^{}$ y $\sigma_{{3}}^{}$, que originan la ruptura, la recta tangente a todos estos círculos representa la condició de fractura para el material ensayado. Por lo tanto, a una envolvente lineal le corresponde la ecuación del criterio de ruptura de Navier-Coulomb.

De la figura:

sin$$\phi$$  =  $${\frac{{NN'}}{{x}}}$$   y   x  =  $${\frac{{(\sigma_{1}\ +\ \sigma_{3})}}{{2}}}$$  +  x'

pero

$$\begin{split} \tan\phi\ =\ \frac{c_{0}}{x'}\\ \\ x'\ =\ \fr... ...\tan\phi}\ \ \ \text{o}\\ \\ x'\ =\ c_{0}\cot\phi \end{split}$$

y como

$$\begin{split} NN'\ &=\ \text{radio del c\'{\i}rculo}\ =\ \sig... ...c{\sigma_{3}}{2}\\ \\ \sin\phi\ &=\ \frac{NN'}{x} \end{split}$$

entonces

$$\begin{split} NN'\ &=\ x\sin\phi\\ \\ \Rightarrow\ \ \frac{... ...sigma_{3})}{2}\ +\ c_{0}\cot\phi\ \right] \sin\phi. \end{split}$$

Simplificando

$$\begin{split} \frac{\sigma_{1}}{2}\ -\ \frac{\sigma_{3}}{2}\ ... ...rac{2c_{0}\cos\phi}{(11\ -\ \sin\phi)}}_{\sigma_0}. \end{split}$$

Por lo tanto, el criterio de Navier-Coulomb satisface la relación lineal que tienen algunas rocas entre los stresses principales en la ruptura.

Comparando con la ecuación (7.1)

$$\begin{split} k\ &=\ \frac{1\ +\ \sin\phi}{1\ -\ \sin\phi}\\ ... ...{2c_{0}\cos\phi}{1\ -\ \sin\phi}\ =\ 2c_{0}\sqrt{k} \end{split}$$

es decir, la resistencia a la compresión uniaxial, $\sigma_{{0}}^{}$, está relacionada con la cohesión y con el ángulo de fricción interna.

Una característica importante del criterio es que se puede predecir el ángulo $\theta$ que forma el plano de cizalle con el eje de stress principal máximo. Para hacerlo es necesario expresar el criterio de fractura en t'ermino de los stresses principales.

Esta relación es derivada con respecto a $\theta$ y se obtienen las condiciones, más y menos favorables, para la ruptura en cizalle. Se puede mostrar que para estas condiciones

$$\begin{split} \pm\ \theta\ &=\ 45^{0}\ -\ \frac{\phi}{2}\\ \\ \text{\'{o}}\ \ \ 2\theta\ &=\ 90^{0}\ -\ \phi \end{split}$$

donde 2$\theta$ es el ángulo agudo entre cizalles conjugados. Este ángulo 2$\theta$ es representado gráficamente por el ángulo que forma una recta tangente a la envolvente con el eje de los stresses normales ($\sigma$).

Una limitación importante de este criterio es que no toma en cuenta los signos de stress. Consecuentemente, la resistencia a la tracción (T) predecida por este criterio es

T_p  =  c₀cot$$\phi$$.

Para ángulos $\phi$ menores que 45⁰ (la mayoría de las rocas sedimentarias) resulta que la resistencia a la tracción predecida por el criterio es mayor que la cohesión. Experimentalmente, se sabe que la cohesión es siempre mayor, aproximadamente el doble, que la resistencia a la tracción (el valor de $\sigma_{{3}}^{}$ es capaz de generar una fractura de tensión, con $\tau$  =   0).

Criterio de Griffith para ruptura frágil

Anteriormente se dijo que muchas rocas presentan una relación lineal entre los stresses principales en la ruptura y que éstas cumplen con el criterio de Navier-Coulomb. Muchas otras, sin embargo, presentan una relación no lineal que estaría representada por el criterio de Griffith.

La tesis usada por Griffith se basa en los enlaces interatómicos. A partir de la teoría de los enlaces interatómicos la resistencia a la tracción teórica de sólidos frágiles ideales es T  $\cong$ tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline14612#
, donde E es el Módulo de Young. Para muchas rocas resistentes, E  $\cong$  10⁶bar , lo que indicaría una T  $\cong$ 0⁵bar  $\cong$  10⁴MPa. (1bar  =  0, 1MPa  =  10⁵${\frac{{N}}{{m^{2}}}}$). En la práctica, valores máximos para T son alrededor de 35 - 40MPa. Griffith sugirió que esta gran discrepancia entre el valor observado y el valor teórico para la resistencia a la tracción de los materiales era el resultado de intensas concentraciones locales de stress que se desarrollan en el borde de imperfecciones o microgrietas. El asumió, por conveniencia matemática, que las grietas eran elípticas, de gran excentricidad, y calculó las concentraciones locales de stress alrededor de estas fracturas en una fina placa sujeta a stress de tracción ($\sigma_{{T}}^{}$). Él demostró que el stress extensivo máximo en los bordes de la grieta se hacía lo suficientemente grande como para igualarse a la resistencia de los enlaces interatómicos y permitir que la fractura se propagase cuando

$$\sigma_{{T}}^{}$$  =  $$\sqrt{{\frac{2AE}{\pi c}}}$$

donde $\sigma_{{T}}^{}$ es el stress aplicado (de tracción), A es la energía superficial de la grieta y c  =  ${\frac{{1}}{{2}}}$ el largo del eje mayor de la grieta elíptica.

Usando valores razonables para estas constantes, Griffith obtuvo valores del stress crítico ($\sigma$) comparable con los valores T de la resistencia a la tracción de un gran número de especímenes de vidrio. Al preparar especímenes de vidrio carentes de imperfecciones, él obtuvo valores de T muy grandes.

Griffith consideró luego el problema de la propagación de las grietas en 2 - D (dos dimensiones) en una hoja sujeta a compresión biaxial. Él asumió que las microgrietas estaban orientadas aleatoriamente en la lámina y que estaban lo suficientemente alejadas como para que el campo de stress desarrollado en una no interfiriera a alguna vecina. Él mostró que aún cuando los stresses aplicados fuesen compresivos, los stresses desarrollados en los bordes de las microgrietas serían extensivos y que estos stresses serían máximos cuando

cos 2$$\theta$$  =  $${\frac{{\sigma_{1}\ -\ \sigma_{3}}}{{2(\sigma_{1}\ +\ \sigma_{3})}}}$$

donde $\theta$ es el ángulo que el eje mayor de la grieta forma con el eje de stress principal máximo ($\sigma_{{1}}^{}$). Él señaló además, que siempre que $\sigma_{{1}}^{}$  $\neq$  $\sigma_{{3}}^{}$ y (3$\sigma_{{1}}^{}$ +  $\sigma_{{3}}^{}$)  >   0, el stress extensivo alrededor de cada grieta alcanza el stress crítico y se produce la propagación de la fractura (la cual puede llevar a la ruptura) cuando

($$\sigma_{{1}}^{}$$  -  $$\sigma_{{3}}^{}$$)²  +  8T($$\sigma_{{1}}^{}$$  +  $$\sigma_{{3}}^{}$$)  =  0.

Murrell (1958) expresó esta relación no lineal entre los stresses principales en la ruptura como una envolvente de Mohr con la ecuación

$$\tau^{{2}}_{} \sigma_{{n}}^{}$$ (7.3)

donde T  = resistencia a la tracción.

Se puede notar que la cohesión (valor de $\tau$ cuando $\sigma$  =  0) del criterio de Navier-Coulomb es dos veces la resistencia a la tracción, lo que concuerda con los datos experimentales.

El debate acerca de cuál de los dos criterios representa mejor los datos experimentales fue resuelto mediante el análisis de McClintock y Walsh (1962). Ellos demostraron que los dos criterios eran los miembros finales de una condición de ruptura continua. Notaron que las microgrietas elípticas, que pueden dar origen a la ruptura, tendrán gran excentricidad. Según esto, en un campo de stress compresivo, ellas tenderán a cerrarse total o parcialmente. McClintock y Walsh usaron este concepto para modificar la teoría de Griffith; asumieron que las grietas se cerraban cuando el stress normal a la grieta alcanzaba un cierto valor ($\sigma_{{c}}^{}$) que daba origen a un stress normal efectivo dado por

$$\sigma_{{e}}^{}$$  =  ($$\sigma_{{n}}^{}$$  -  $$\sigma_{{c}}^{}$$).

Cuando las superficies de la grieta están en contacto, a lo largo de la porción cerrada de la grieta se pueden desarrollar stresses de cizalle, de modo que

$$\tau_{{e}}^{}$$  =  $$\mu$$$$\sigma_{{e}}^{}$$  =  $$\mu$$($$\sigma_{{n}}^{}$$  -  $$\sigma_{{c}}^{}$$)

donde $\mu$ es el coeficiente de fricción al deslizamiento.

Estos stresses friccionales se superpondrán al campo de stress alrededor de la grieta y darán origen a una relación entre los stresses principales en la ruptura de la forma

$$\mu$$($$\sigma_{{1}}^{}$$  +  $$\sigma_{{3}}^{}$$  -  2$$\sigma_{{c}}^{}$$)  +  ($$\sigma_{{1}}^{}$$  -  $$\sigma_{{3}}^{}$$)(1  +  $$\mu$$)^{${\frac{{1}}{{2}}}$}  =  4T$$\sqrt{{1\ -\ \frac{\sigma_{c}}{T}}}$$.

Si las grietas son largas, los espacios desgados se cerrarán a muy bajos stresses compresivos, tales que $\sigma_{{c}}^{}$  =   0; entonces, la relación entre los stresses principales en la ruptura dada anteriormente se reduce a

$$\mu$$($$\sigma_{{1}}^{}$$  +  $$\sigma_{{3}}^{}$$)  +  ($$\sigma_{{1}}^{}$$  -  $$\sigma_{{3}}^{}$$)(1  +  $$\mu$$)^{${\frac{{1}}{{2}}}$}  =  4T.

Esta ecuación representa una relación lineal entre los stresses principales en la ruptura, la cual tiene una envolvente de Mohr para los stresses compresivos de la forma

$$\tau$$  =  2T  +  $$\mu$$$$\sigma_{{n}}^{}$$.

Esta ecuación difiere del criterio de Navier-Coulomb para ruptura frágil sólo en el reemplazo de c₀ (cohesión) por 2T.

En un campo de stress extensivo no ocurrirá el cierre de las grietas y por lo tanto, la forma de la envolvente en tensión será determinada por la ecuación

$$\tau^{{2}}_{}$$  +  4T$$\sigma$$n  -  4T²  =   0

y la envolvente completa tendrá una forma

Fractura cuando el stress efectivo menor es de tensión

En condiciones de la corteza la presión de fluidos (p) puede a veces ser alta y mayor en magnitud que el stress principal mínimo total (S₃), de manera que el stress efectivo menor ($\sigma_{{3}}{^\prime}$) es de tensión (negativo). Dependiendo de la magnitud de S₃ y también del valor de (S₁  -  S₃), relativo o expresado en términos de la resistencia a la tracción de la roca (T), la fractura puede ocurrir en uno de los siguientes modos

1. Si (S₃  -  p)  >  T y también (S₁  -  S₃)  <  4T ocurrirá fractura en tensión y uno o más planos de fractura se desarrollarán perpendicularmente al eje del stress principal mínimo como resultado de fracturamiento hidráulico.
2. Si 0, 8T  <  (S₃  -  p) y también 4T  <  (S₁  -  S₃)  <  5, 5T resultarán extensiones híbridas y formas de cizalle.

Ruptura de tensión

El criterio de stress para ruptura de tensión citado en (1.) es directo. El primer requisito (S₃  -  p)  >  T significa que el stress efectivo principal menor ($\sigma_{{3}}{^\prime}$) debe tener una magnitud suficientemente grande como para sobrepasar la resistencia para fallar en tracción inherente de la roca. El segundo requisito (S₁  -  S₃)  <  4T está basado en la geometría de la envolvente parabólica del criterio de Griffith. Se puede ver que el círculo de Mohr que toca al eje $\sigma$ en las coordenadas (0, - T) no puede tener un diámetro mayor que 4T. Círculos de stress con diámetro mayor tocarán la envolvente en un lugar diferente, dando origen a otros modos de fractura distintos a la fractura hidráulica.

Del criterio de Griffith es posible inferir que la resistencia a la tracción de una roca, que obedece al criterio, es ${\frac{{1}}{{8}}}$ de la resistencia a la compresión uniaxial (valor de $\sigma_{{1}}^{}$ cuando $\sigma_{{3}}^{}$  =   0).

$$\begin{split} (\sigma_{1}\ -\ \sigma_{3})^{2}\ +\ 8T(\sigma_{... ...\ 0\ \ &\Rightarrow\ \ T\ =\ -\frac{\sigma_{1}}{8}. \end{split}$$

Si la roca en cuestión obedece al criterio combinado Griffith/Navier-Coulomb, puede ser inferido que la razón entre la resistencia a la compresión uniaxial y la resistencia a la tracción es un poco mayor que 8 : 1. Sin embargo, muchas rocas no son isótropas ni homogéneas (requisito fundamental para los criterios de fractura frágil) y muestran razones de hasta 30 : 1.

Mecanismo de fracturamiento hidráulico de fractura frágil

Por muchos años el desarrollo de venillas y fracturas de extensión presentó una paradoja. Los geólogos reconocían que eran formas de fractura de tensión, pero que los stresses en la corteza eran compresivos. Esta paradoja no fue resuelta sino hasta que se reconoció que los stresses que eran compresivos correspondían a stresses totales y que siempre que la presión de fluidos (p) se hiciera lo suficientemente grande, el stress principal mínimo podía llegar a ser extensivo. Si la magnitud del stress efectivo extensivo es mayor que la resistencia a la tracción (T) de la roca, ocurrirá fractura de tensión por el mecanismo de fracturamiento hidráulico. Esto es, el fracturamiento hidráulico ocurre cuando (S₃  -  p)  >  T. Secor (1965) demostró que no hay límite de profundidad en la corteza para la ocurrencia de este mecanismo.

El mecanismo tiene una aplicación amplia, la cual incluye, por ejemplo, el emplazamiento de estructuras de gran escala tales como diques, filones manto y probablemente la iniciación de algunos diapiros. A escala macro y mesoscópica, el mecanismo es responsable de la generación de venillas, algunas diaclasas y clivaje de fractura. A escala microscópica, da origen a microfracturamientoo y disgregación, llevando posiblemente al flujo cataclástico.

En algunas situaciones, por evidencias geológicas, es claro que el fluido es derivado desde fuera del sistema (por ejemplo en el emplazamiento de diques y filones manto), mientras que en otros, la presión de fluidos existe dentro del sistema dando origen a clivaje de fractura y muchas otras fracturas de extensión menores. Cuando el fluido es inicialmente externo y es introducido al sistema a altas presiones, se puede utilizar la ecuación (S₃  -  p)  >  T para describir las condiciones de fracturamiento hidráulico. Cuando el fluido es interno, la situación no es tan clara.

Esta situación fue estudiada por Secor (1968) a través de un modelo conceptual, en el cual un cuerpo isotrópico y homogéneo contenía grietas elípticas, espaciadas, orientadas aleatoriamente que estaban innterconectadas por una red de canales capilares. Inicialmente todos los espacios estaban rellenos con fluidos a una presión p. Secor hace notar que una grieta elíptica, en la cual existe una presión de fluidos tal que la grieta está sujeta a un stress extensivo, es análoga al criterio de Griffith.

Secor argumenta que la grieta elíptica con orientación más favorable (es decir, alineada perpendicularmente a S₃) y con la mayor elipticidad empezará a propagarse cuando la presión de fluidos supere el stress principal mínimo (S₃) más la resistencia a la tracción (T). Cuando la grieta se propaga aumenta su volumen y por lo tanto, si el volumen de fluidos se mantiene constante en la grieta, la presión de fluidos disminuirá a un valor p_f. Como la presión externa es mayor que p_f (p  >  p_f), Secor argumenta que el fluido fluirá hacia la grieta preferencial hasta equilibrar las presiones y permitir el fracturamiento.

Extensión híbrida y fracturas de cizalle

Consideremos ahora fracturas cuando (S₁  -  S₃)  >  4T por una pequeña cantidad y el stress efectivo menor es extensivo y relativamente grande, pero menor en magnitud que la resistencia a la tracción de la roca. La figura muestra estas condiciones de stress.

En este ejemplo el círculo de stress toca la envolvente de ruptura en el sector negativo, de extensión. Mohr sugirió que la condición de Navier-Coulomb para predecir el ángulo $\theta$ entre la superficie de ruptura y el eje de stress principal máximo podría, por analogía, extenderse a envolventes no lineales. Él sugirió que si se traza una tangente al círculo en el punto donde éste toca la envolvente, el ángulo que forma una línea perpendicular a la tangente coon el eje de stress normal define el ángulo 2$\theta$ entre superficies de cizalle conjugadas. Esta sugerencia empírica fue posteriormente demostrada analíticamente por Griffith.

Para las condiciones de stress y fractura mostradas en la figura, se puede inferir que el stress normal actuando en el plano de fractura será de tensión y que actuará además un stress de cizalle en el plano de fractura, es decir, habrá un desplazamiento. Consecuentemente, el plano de fractura será una fractura de extensión híbrida/cizalle.

De la geometría de la envolvente, si se desarrollan planos de fractura híbrida conjugados, el ángulo agudo entre los planos será menor que 45⁰. Price (1975) realizó una serie de construcciones gráficas y obtuvo relaciones entre el ángulo agudo 2$\theta$ entre los planos conjugados y:

1. La presión de fluidos (expresada como $\lambda_{{e}}^{}$  =  1  +  kT, con k entre 0 y 1).
2. El stress diferencial, (S₁  -  S₃), (expresado en múltiplos de T).

Temperatura, tiempo y efecto escala en la resistencia de una roca

El efecto de la temperatura ha sido demostrado experimentalmente por diferentes autores. Los resultados por ellos obtenidos son los esperados al ver el comportamiento natural de los materiales. Si todos los parámetros se mantienen constantes y la temperatura va aumentando, la resistencia de la roca disminuye. La figura muestra un comportamiento dúctil para todos los ensayos representados. La ductilidad en estos experimentos se debe al hecho que la roca fue ensayada a presiones confinantes relativamente altas (150kPa). Un aumento de la temperatura también puede influir en el comportamiento, de modo tal que a bajas temperaturas se comporta de manera frágil, se hace dúctil a medida de acercarse al punto de fusión. En el punto de fusión la roca comienza a comportarse como un líquido. Sin embargo, cuando entra a jugar un segundo parámetro, el tiempo, (muy importante en todos los procesos geológicos), es obvio que las rocas pueden tener características de líquidos a temperaturas considerablemente menores que su punto de fusión.

Experimentos realizados para demostrar este comportamiento han sido desarrollados a temperaturas y presiones confinantes altas, con una velocidad o tasa de strain ($\dot{{e}}$) constante

e  =  $${\frac{{dl}}{{l_0}}}$$        $$\dot{{e}}$$  =  $${\frac{{e}}{{t}}}$$.

Los experimentos muestran que a baja temperatura y/o alta tasa de strain, los especímenes a menudo no muestran un punto donde la deformación continúa aunque no aumente el stress (yield point), sino que muestran strain hardening.

Factor de escala

Todos los ensayos realizados en laboratorio para determinar el comportamiento de las rocas requieren especímenes de poco tamaño y son elegidos de manera que no tengan discontinuidades. En general, los resultados de los ensayos muestran resistencias bastante mayores que las que pueden presentar las rocas en su condición natural en la corteza. Es probable que en condiciones de la corteza, la resistencia de una roca específica sea inferior al 50% de su resistencia obtenida de ensayos de laboratorio.

Efecto de fracturas preexistentes

Una de las preguntas importantes es una vez que existe una fractura, cuál es es requisito para producir deslizamiento en vez de generar una nueva. Para responderla, se considerará la fricción estática actuando en una fractura preexistente y determinará el estado de stress requeridoo para superar la fricción y permitir el deslizamiento.

El stress de cizalle crítico requerido para superar la fricción en un plano es igual al producto del stress efectivo normal y el coeficiente de fricción

$$\sigma_{t}^{}$$  =  $$\sigma_{n}^{}$$$$\mu$$

o

|$$\sigma_{t}^{}$$|  =  ($$\sigma_{n}^{}$$  -  p)$$\mu$$

o de manera más general,

|$$\sigma_{t}^{}$$|  =  $$\tau_{0}^{}$$  +  ($$\sigma_{n}^{}$$  -  p)$$\mu$$

donde $\tau_{0}^{}$ es la resistencia al cizalle de la interfase (cohesión), la cual es muy pequeña, cercana a 1 MPa. El coeficiente de fricción $\mu$ varía entre 0, 6 y 0, 85 para muchas de las interfases rocosas. Un ejemplo es la arenisca de Weber (Colorado), con $\mu$  =  0, 81. La ecuación de la fricción puede ser graficada como dos líneas en el diagrama de Mohr; si el stress que actúa en cualquier interfase dentro de la roca cae en esa línea, ocurrirá deslizamiento.

Por otra parte, la misma roca tiene una resistencia que puede ser descrita por en criterio de Navier-Coulomb

$$\tau$$  =  c₀  +  ($$\sigma_{n}^{}$$  -  p)$$\mu$$.

En el caso de la arenisca de Weber, c₀  =  70 MPa y $\mu$  =  0, 6. Esta ecuación es graficada en el mismo diagrama. Es importante notar que la ecuación de fricción se aplica solamente a fracturas preexistentes, mientras que la ecuación de Navier-Coulomb se aplica a planos de fractura potencial en cualquier dirección.

Supongamos que la arenisca de Weber es sometida a un estado de stress como el de la figura. El círculo es tangente a la envolvente en el punto f de modo que la muestra tenderá a fracturarse en un plano que forme un ángulo con el eje de stress principal. Por otra parte, cualquier fractura preexistente de orientación entre ?? y ?? habrá ya deslizado , dado que el estado de stress a lo largo de ella superó la ley de fricción. Si cualquier fractura cae fuera del rango $\theta_{1}^{}$ y $\theta_{2}^{}$, ellas permanecerán estables y se formará una nueva fractura de orientación $\_$$\_$ .