Mecánica

Prof. Patricio Cordero S.

Auxs:  Matías Briceño  y  Hugo Henríquez
Controles:   C1: 11 abril       C2: 6 julio       C3: 8 agosto
Examen:   1 septiembre     Recuparativo: x x x  

Se tratará de tomar semanalmente un ejercicio con la posible excepción del que tocaría justo antes de cada control. Si se alcanza a tomar N ejercicios al final del semestre a cada cual se le considerará los (N-2) mejores. El número N será el mismo para todos, sin importar si alguien deja de rendir un ejercicio por razón justificada o incluso si el alumno se incorporó después del comienzo de las clases. Este promedio de ejercicios aparecerá en la planilla final como C4.
Quien deje de rendir un control y tal ausencia es avalada por la Escuela tendrá temporalmente nota 1.0 pero al final en tal control se le pondrá la nota que obtenga en el examen.

♦ NP = Nota Presentación = (C1+C2+C3+C4)/4 .
♦ Si NP ≥ 5.5 está liberado de rendir el examen y NF = NP y si no, entonces
♦ NF = (NP)*0,6 + (Nota Examen)*0,4 .
♦ Aprobado si NF ≥ 3,95.
♦ Puede rendir examen recuperatuivo si 3.65 ≤ NF ≤ 3.94.

2018/1: visto semana a semana

  1. [12:16 marzo] ♦1♦ 1 Se comienza hablando de coordenadas y movimiento, en especial la definición de velocidad y aceleración a partir del vector posición. Se ve un ejemplo. Se introduce la noción del vector velocidad angular. Se ven ejemplos. Se demuestra que en el caso de un vector D función del tiempo, el elemento de área que barre es proporcional al producto cruz entre D y la derivada temporal de D. Se plantea caso de partícula en caída libre vertical desde un punto P=(x0, 0). Se deja como ejercicio ver que la velocidad con respecto al origen tiene un máximo: valor del máximo y dónde ocurre. ♦2♦ 2 Se ve con cierto detalle los casos de coordenadas cartesianas y cilíndricas: vectores posición, velocidad y aceleración. Se desarrolla algunos ejemplos. Luego se analiza el caso en que el movimiento de una partícula puntual: la trayectoria que sigue, el parámetro s de arco en la trayectoria, nociones como el centro de curvatura y radio de curvatura, los vectores tangente y normal; la noción de rapidez y de velocidad, las aceleraciones centrípeta y tangencial. Dinámica se inicia enunciando muy brevemente las tres leyes de Newton.

  2. [19:23 marzo] ♦1♦3 Se analiza caso de partícula que puede deslizar sin roce por una recta que gira en un plano horizontal con un punto fijo. Se da posición inicial no nula y velocidad radial nula. El problema se integra totalmente. Se ve dos métodos para tratar el problema. Otro caso que se analiza en detalle: partícula desciendo debido a su peso por riel helicoidal de eje vertical. ♦2♦4 Se comienza mostrando ecuación diferencial lineal de segundo orden y la forma de su solución general. Se plantea sistema de muchas partículas y se define conceptos como masa total, posición y velocidad del centro de masa así como la ecuación para el centro de masa. Las fuerzas sobre las partículas se separan en las que son internas al sistema y las externas. Se ve conceptos de masa total, posición y velocidad del CM etc. Se analiza ejemplo de dos partículas unidas por una vara: una desliza por una recta que gira en plano horizontal y la otra por una vara vertical coincide con el eje de rotación cortando a la primera. Está quieta. Se deja planteado el caso de dos partículas unidas por un hilo que pueden deslizar sin roce por riel horizontal que gira con veloc angular constante.

  3. [26:30 marzo] ♦1♦ 5 Se define el momento angular de un sistema de partículas y se muestra que su variación se debe al torque de las fuerzas externas. Se ilustra el caso de dos partículas en riel circunferencial unidas por cuerda tal que se forma un triángulo rectántulo con el centro de la circunferencia. Otro ejemplo: hilo une a dos partículas una que desliza en un plano horizontal (no hay roce), el hilo pasa por agujero puntual y la otra cuelga del hilo teniendo tan solo movimiento vertical. El problema fue analizado pero quedó como ejercicio personal. ♦2♦ 6 Brevemente se repasa coordenadas esféricas y se analiza el caso del péndulo esférico, culminando con una ecuación dinámica para el ángulo θ. Se discute algo sobre el péndulo cónico. Luego se estudia el caso de un péndulo que consiste en una lámina semicircunferencial que puede oscilar en su propio plano debido a su peso. Se deja como ejercicio personal determinar el torque sobre este péndulo debido a su peso.

  4. [ 2: 6 abril] ♦1♦ 7 Se define centro de masa G (centro de gravedad) G de un sistema de partículas puntuales y el momento angular de este sistema con respecto a G. Se encuentra la ecuación dinámica para este momento angular. Se mira en particular el sistema de dos partículas con fuerza mutua más una fuerza externa. Se concluye que el problema de dos cuerpos se reduce "al de uno". Se inicia el capítulo de fuerzas centrales. Se deduce la 2da ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales). Se ve la 3ra ley de Kepler y la ley de gravitación universal. Se sugiere leer sobr el cometa de 1680 (cometa Halley). Se obtiene la "aceleración de gravedad" a altura h. Se inicia el estudio de la fuerza elástica ideal. ♦2♦ 8 Ecuación de oscilador 3D obteniéndose expresión de la barrera centrífuga. Fuerza de roce estático, la que se ilustra con partícula apoyada en interior de cilindro de eje vertical que rota en torno a su eje: condición para que no deslice.

  5. [ 9:13 abril] ♦1♦ 9 Se respondió muchas preguntas en vípera del C1. Luego se vio el caso de un péndulo apoyado en un plano inclinado (pendiente α). El péndulo de masa puntual m en el extremo de un hilo de largo R, comienza con el hilo horizontal y desciende por el plano inclinado donde la masa experimenta un roce deslizante. Al haber roce el péndulo se detiene antes de que el hilo vuelva a estar horizontal. C1 ♦2♦ 10 Se estudia el roce viscoso cuadrático. En particular se estudia el caso del lanzamiento vertical de un cuerpo, su punto de mayor altura (donde se detiene) y el proceso de descenso. Se pone atenció a la altura función del tiempo tanto durante el ascenso como el descenso. Se obtiene también la velocidad con que retorma al punto de partida.

  6. [16:20 abril] ♦1♦ 11 Se inicia capítulo sobre trabajo y energía. Se define el trabajo de una fuerza a lo largo de un camino desde punto inicial a punto final. Se ve un par de ejemplos. Se desarrolla ejemplo de partícula que desliza por riel circunferencial con roce deslizante y viscoso cuadrático. Se conecta trabajo total con cambio de energía cinética. Se define ``fuerza conservativa'' en base a tres igualdades entre derivadas parciales. ♦2♦ 12 Por falta de quorum no se hizo clases.

  7. [23:27 abril] ♦1♦ 13 Si una fuerza es conservativa la integral de trabajo permite definir energía potencial. Si esa es la fuerza total se tiene una energía total K+U conservada. Se muestra que si fuerza es conservativa su rotor es nulo y se le puede asociar una energía potencial U. Se da el U asociado a gravitación. Una fuerza conservativa se puede expresar como menos el gradiente de la enegía potencial asociada. Si la fuerza sobre un sistema es una mezcla de fuerza conservativa y no conservativa, el trabajo de las NC da la variación de la energía total K+U. ♦2♦ 14 Se introduce la noción de potencia. Se ve caso 1D con roce viscoso. Se inicia el estudio de oscilaciones en torno a puntos de equilibrio. Se demuestra que la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones en torno a un mínimo se relaciona a la segunda derivada de la energía potencial en torno a ese punto. Se ve con algún detalle el caso del péndulo. Se deja un ejercicio.

  8. [30 abril:4 mayo] ♦1♦ feriado ♦2♦ 15 Se muestra la relación entre la forma de la funcińn de energía potencial y los puntos de equilibrio, su naturaleza, frecuencias de oscilación etc. Se muestra caso 1D con dos masas y tres resortes y la matriz cuyos autovalores dan las frecuencias de oscilación. Se discute el caso de oscilaciones forzadas y el batimiento. También se menciona el caso de oscilador vertical forzado y con gravedad. Para ver el caso de resonancia del puente Tacoma visitar: https://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag.

  9. [7:11 mayo] ♦1♦ 16 Se estudia el oscilador 1D amortiguado. Se ve que existe posibilidad que el sistema esté sobreamortiguado. Luego se estudia el oscilador forzado por fuerza externa oscilante y donde además hay fuerza viscosa. ♦2♦ ** Facultad tomada. Corresponde comenzar con Fuerzas Centrales.

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  10. [25:30 junio] ♦1♦ no pude venir ♦2♦ 17 Fuerzas centrales, ecuación radial, noción de potencial efectivo U* para el problema reducido a 1D. Caso de oscilador armónico 2D y caso gravitacional. El caso genérico U=aBra y las pequeñas oscilaciones: relación entre el período de la órbita y el de la oscilación.

  11. [2:6 julio] ♦1♦ 18 Se obtiene la ecuación de Binet en particular en el caso gravitacional, obteniéndose trivialmente la solución genérica. Se incorpora el concepto de la excentricidad de una órbita. Se analiza cónicas en coordenadas polares usando la excentricidad como parámetro importante. En particular se ve el caso de las elipses. En el caso planetario se intriduce variable w (inverso del radio) etc etc. Se da las excentricidades de algunos cuerpos del sistema solar. ♦ 2♦ 19 ♦ Se revisa expresión de órbitas planetarias elípticas y los parámetros que se usa. Como paréntesis se ve la expresión para la energía cinética en relatividad. Se analiza el caso de una partícula sometida al potencial proporcional a potencia "a" del radio, se ve las órbitas circunferenciales y las pequeñas oscilaciones en torno a estas órbitas. C2 (julio 6)

  12. [9 - 13 julio] ♦1♦ 20 Se analiza la forma la ecuación de movimiento que en un sistema inercial es ``masa x aceleración=fuerza total''. Se obtiene finalmente una ecuación de movimiento que contiene términos extra como las fuerzas: centrífuga, de Coriolis, transversal y otro. Se desarrolla ejemplo de una partícula que desliza libremente por una circunferencia de radio R que gira en torno a su eje vertical con velocidad angular constante ω. Se obtiene una energía potencial efectiva que tiene, en el punto más bajo, un punto que es estable o inestable según el valor de ω ♦2♦ 21 Se repasa la ecuación de movimiento en un sistema de referencia arbitrario. Se analiza la ecuación para el caso de un planeta en su órbita para obtener los distintos efectos no inerciales. Luego se ve los efectos sobre el movimiento cerca de la superficie de la Tierra debido a que ella gira alrededor de su eje. Se menciona el origen de la corriente de Humbolt. Se comienza capítulo sobre cuerpos extendidos. En particular se ve la expresión para el momento angular y se define la matriz de inercia del cuerpo.

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    : ********** receso de invierno (16 - 27 julio) **********
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  13. [30 julio - 3 agosto] ♦1♦ 22 Se comienza a ver la dinámica de un cuerpo extendido lo que requiere la definición de una serie de vectores. Noción de centro de masa, de matriz de inercia, de momento angular asociado a un cuerpo extendido. Teorema de Steiner. Ejemplo de cuerpo formado por tres masas puntuales en los vértices de un triángulo equilátero etc. ♦2♦ 23 Se ve casos de péndulos cuya masa es el triángulo equilátero anterior y otro ejemplo semejante. Se define los ejes principales de un cuerpo como en las mdirecciones de los autovectores de la matriz de inercia. Se plantea caso de cuerpo en forma de un cilindro ahuecado. Se define momento de inercia c/r a eje de rotación fijo. Se ve relación entre IP e IG, lo que se considera corolario del teorema de Steiner.

  14. [6 - 10 agosto] ♦1♦ 24 Se comienza tratando caso de péndulo cuya masa es un cilindro, luego un péndulo que consiste en semicircunferencia masiva que oscila en su propio plano (algunos detalles se dejan sugeridos). Caso de vara (diagonal hacia abajo) en cuyo extremo hay un disco perpendicular a ella que gira en toreno a su eje. El eje del disco barre un cono, se debe determinar esta velocidad angular. Se plantea caso de semicircunferencia masiva en plano vertical que rueda oscilante (debido a g) sobre recta horizontal. Disco que baja rodando por pendiente. Se menciona caso de péndulo cónico doble. C3 (8 agosto) ♦2♦ 25 Se replantea el péndulo cónico doble y se obtiene la matriz de inercia. El mismo sistema se replantea desde un sistema S'' que tiene eje Z'' que coincide con el hilo del péndulo cónico. Se deduce la velocidad angular el hilo. Se inicia el capítulo sobre las ecuaciones de Euler-Lagrange introduciéndose la idea de coordenadas generalizadas q y el funcional de acción S[q]. De ahi sigue la idea de lagrangeano y se explicita las ecuaciones de Euler-Lagrange. Desde esta perspectiva se ve primero las ecuaciones de Newton sin restricciones. Ejemplo: péndulo simple. Se ve la forma de tratar casos con restricciones.

  15. [13 - 17 agosto] ♦1♦ 26 Se describe en particular las restricciones holonómicas y se muestra como incorporarlas al lagrangeano. Se estudia el caso de una partícula deslizando por la superfice interior de un cono de eje vertical y vértice abajo; el caso del péndulo esférico; el caso de dos partículas, una que solo se puede mover en línea horizontal y de ella cuelga otra como un pédulo con punto de apoyo móvil: se escribe el lagrangeano. Se ve otros casos también. ♦2♦ 27 Se platea el lagrangeano de sistema: cilindro rodando por plano inclinado. Se plantea em lagrangeano en el caso de una cadena periódica de masas iguales unidas por resortes. Se hace una ``transformada de Fourier'' de las variables. De esta manera el sistema queda descrito por variables desacopladas.