Los sistemas compuestos por muchos constituyentes fuera del equilibrio termodinámico exhiben una gran variedad de comportamientos colectivos espaciales y temporales. Uno de los objetivos de la Física No-lineal es la caracterización de estos comportamientos colectivos.

El gran éxito de esta area de la Física contemporanea en las dos últimas décadas no sólo en las ciencias naturales como la Física, Química y la Biología, sino también en las ciencias humanas tales como la Sociología y la Economía, se debe a que su objetivo principal es el estudio de fenómenos robustos, es decir, fenómenos independientes de la Física subyacente, como por ejémplo, fenómenos colectivos, comportamientos caóticos, bifurcaciones, inestabilidades y formación de patrones (patterns). Entonces estos fenómenos son universales, como lo ilustra la formación de patrones regulares en medios disipativos tales como aquellos observados en sistemas químicos, descarga de gases, laseres, plasmas, cristales líquidos, medios granulares, crecimientos de cristales, hidrodinámica, electroconvección, pigmentación de los animales e insectos.

El estudio de fenómenos robustos se basa esencialmente en la comprensión y caracterización de las ecuaciones diferenciales ordinarias y a derivadas parciales, lo que no significa resolverlas, sino tener una comprensión de los comportamientos que las ecuaciones diferenciales contienen (Teoría de Catástrofes). Esta comprensión permite entender y modelar fenómenos descritos por ecuaciones diferenciales.

El objetivo principal de este curso es responder a las tres siguientes preguntas :

• Que es una dinámica no-lineal?, y que hace la diferencia con una lineal.
• Desde un punto de vista de la Física, por qué se debe estudiar los sistemas no-lineales y dejar de lado el confortable mundo de las ecuaciones lineales?.
• Que tipo de comportamientos robustos encontramos en los sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales y cómo podemos describir estos de manera universal?.

• H. D. Abarbanel, M.I. Rabinovich and M.M. Sushchik, Introduction to Nonlinear Dynamics for physicists (World Scientific Publishing, Singapore,1993).
• A. Newell and J. Moloney, Non-linear Optics, Addison-Wesley, Redwood, CA 1992.
• J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.(Springer-Verlarg, New York, 1983).
• M. Cross and P. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. {\bf 65}, 851 (1993).
• V. Arnold, Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires (MIR, Moscou, 1984).
• J.D. Murray, Methematical Biology, I An Introduction, (Springer-Verlarg, New York, 2002).
• P.G. Drazin, Nonlinear Systems, (Cambridge Texts in Applied Mathematics, 1992).
• E. Ott, Chaos in Dynamycal System (Cambridge University Press,New York,1993).

. Software Interactivos de ODE

• DsTools (Unix, X window, Linux).
• Kltools (Unix)
• Phaser (Window)
• MDEP (Dos)

Temas de presentación finales

El caos aparece en la naturaleza de forma universal a travez de las siguientes rutas

• Doblamiento de Periodo: la aparición del caos es anticipada por una cascada de doblamientos de periódos sucesivos de una solución periódica (Cristobal Espinoza).
• Intermitencia: el caos aparece por la perdidad de estabilidad de una solución periódica (u otra), la cual origina un comportamiento regular acompañado por comportamientos irregulares esporádicos.
• Cuasi periocidad: Soluciones periódicas caracterizadas por dos frecuencias genericamente anteceden un comportamiento caotico (propocisión de Ruelle-Takens )
• Gluing: la colición de dos ciclos límites es acompañada por una cascada de bifurcaciones homoclinas que terminan con un comportamiento caotico.
• Shilnikov: Las soluciones homclinas en tres dimensiones cuando explotan generan comportamientos caoticos. Shilnikov encontro el único criterio analítico conocido que predice el caos.
• Horseshoes y Teorema KAM: El Caos en los sitesmas Hamitonianos es caracterizado por estructuras geométricas complejas, desarrolladas en torno de las homoclinas y heteroclinas, las cuales gobierna la dinámica caotica de estos sistemas conservativos. Los sistemas integrables son estructuras fragiles y las soluciones periódicas son robustas (teorema kam).

• Experimentos clásicos de comportamientos caoticos: sistemas hidordinámicos, la gotera, Rayleigh-Benard forzado, etc.
• Entropía dinámicas: dada la propiedad de la sensibilidad a las condiciones iniciales, las orbitas caoticas generan información las cuales uno puede caracterizar estadisticamente.
• Ecuación de Duffing: estudio completo del oscilanor no lineal forzado armonicamente, es decir, explicar cualitativamente la dinámica del sistema (Plablo Muñoz).
• Fomas Normales para soluciones periodicas: en torno a las inestabilidades de las soluciones periódicas uno puede desarrollar una teoría no lineal (forma normal) similar a la desarrollada para las bifurcaciones de los equilibrios estacionarios (Claudio Falcon).
• Comportamiento Caótico del condensado de Bose Eistein: basado en las inestabilidades cuasi-reversibles del condensado de bose Eistein, recientemente es predicho teoricamente que el modo fundamental del condensado sería descrito por el modelo de Lorenz.
• Ecuaciones de Amplitud: los sistemas extendidos presentan una rica dinámica espacio-temporal, un ansatz para tratar de explicar los diferentes comportamientos exhibidos por la naturaleza son las formas normales con espacio (ecuaciones de amplitud o soubilidad), Mariana Huerta.