Introducción

Horario: Lunes-Viernes 14:30,

Los sistemas compuestos por muchos constituyentes fuera del equilibrio termodinámico—materia fuera del equilibrio—exhiben una gran variedad de comportamientos colectivos espaciales y temporales. La Física No-lineal se consagra en la caracterización de estos comportamientos colectivos de manera unificada por medio de modelos minimales.

El gran éxito de esta área de la Física contemporánea en las últimas décadas no sólo en las ciencias naturales como la Física, Geofísica, Química y la Biología, sino también en las ciencias humanas tales como la Sociología y la Economía, se debe a que su objetivo principal es el estudio de fenómenos robustos, es decir, fenómenos independientes de la Física subyacente, como por ejemplo, comportamientos caóticos, oscilatorios o cuasi-periódicos, bifurcaciones, inestabilidades y formación de patrones. Entonces estos fenómenos son universales, como lo ilustra la formación de patrones regulares en medios disipativos tales como aquellos observados en sistemas químicos, descarga de gases, láseres, plasmas, cristales líquidos, medios granulares, crecimientos de cristales, sistemas magnéticos, hidrodinámica, electroconvección, pigmentación de los animales e insectos.

El estudio de fenómenos robustos se basa esencialmente en la comprensión y caracterización de las ecuaciones diferenciales ordinarias y a derivadas parciales, lo que no significa resolverlas analíticamente, sino tener una comprensión de los comportamientos que las ecuaciones diferenciales contienen (Teoría de Catástrofes). Esta comprensión permite entender y modelar fenómenos descritos por ecuaciones diferenciales.

 

Objetivos Pricipales

 
 
El objetivo principal de este curso es responder a las tres siguientes preguntas :
  • Que es una dinámica no-lineal?, y que hace la diferencia con una lineal.
  • Desde un punto de vista de la Física, por qué se debe estudiar los sistemas no-lineales y dejar de lado el confortable mundo de las ecuaciones lineales?.
  • Que tipo de comportamientos robustos encontramos en los sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales y cómo podemos describir estos de manera universal?.
 
 
Programa tentativo
 
 

 

  • Dinámica de sistemas Unidimensionales
    • Sistemas unidimensionales (sistemas mecánicos sobre amortiguados, evolución de especies bilógicas).
    • Estudio geométrico de los sistemas unidimensionales: Puntos de equilibrio (atractores, repelores), tinas de atracción, estabilidad lineal y no-lineal.
    • Analisis de crecimiento logístico (modelo bilógica de especies).
    • Propiedades de sistemas unidimencionales, potencial de Lyapunov y imposibilidad de oscilaciones
    • Bifurcación Saddle-node (péndulo sobre amortiguado con disipación).
    • Bifurcación Transcritica (modelo simplificado del Laser)
    • Bifurcación Pitchfork (inestabilidad del Euler (elastica),sistemas mecánicos simples)
    • Bifurcación Pitchfork subcritica (punto de transicion, bistabilidad y Maxwell)
    • Bifurcación imperfecta y catástrofe
    • Variable periódica (flujo sobre un circulo).
  • Osciladores no-lineales
    • Hamiltonianos (Suaves: péndulo plano. Duro: placas metálicas empotradas).
    • Con disipación e inyección de energía (péndulo físico, esférico).
    • Van der Pol y de Duffing (cicuitos eléctricos, péndulos giratorios inclinados).
    • forzados (resonancias lineales y no-lineales).
    • forzados parametricamente (Inestabilidad de Faraday).
    • Sincronización (péndulos de Huygens)
  • Herramientas de sistemas dinámicos (sistemas no extendidos)
    • Puntos de Equilibrio (estables, inestables y metasestables).
    • Secciones de Poincaré.
    • Bifurcaciones (globales y locales).
    • Variedad central.
    • Formas normales.
  • Caos
    • Caracterización cualitativa de comportamientos robustos (Equilibrios estacionarios, soluciones periodicas, cuasi-periódicas y caóticas).
    • Péndulo de Lorenz.
    • Caos en ecuaciones diferenciales y en aplicaciones (mapping).
    • Variedad central.
    • Rutas o escenarios del Caos: Doblamiento de período, intermitencia, casi-periocidad y crisis.
  • Comportamientos genéricos de las ecuaciones a derivadas ordinarias (Sistemas extendidos espacialmente en una dimensión).
    • Soluciones homogeneas.
    • Interfaces entre soluciones homogeneas (Dinámica de frentes, biestabilidad, punto de Maxwell).
    • Soluciones tipo partícula: Solitones, frentes, ondas de choque, estructuras localizadas.
    • Frentes normales (transiciones de primer orden).
    • Frente-Kolmogorov (dinámica de población de especies).
    • Paredes o frentes entres estados simétricos (Interfaces en sistemas magneticos).
    • Ondas de choque (medios granulares).
    • Solitones (KDV, Joshepson junctions).
    • Estructuras espaciales disipativas (Pattern formation, convección de Raylegh-Benard, electroconvección, reacciones difusión y de catálisis, sistemas de descarga électricas, cristales líquidos, sección transversal de laseres, medios granulares fuera del equilibrio)
    • Formas normales para estructuras espaciales disipativas (modelos de Liftchitz y Ginzurg-Landau).
    • Estructuras localizadas (reaccion difusión, optical bullet, oscilones, conjunto de osciladores acoplados).
    • Caos espacio-temporal (propagación de flamas,Modelo Kuramoto-Sivashisky)
    • Interacción de ondas y Turbulencia débil.
  • Sistemas extendidos espacialmente en dos dimensiones:
    • Dinámica de frentes.
    • effecto Gibbs-Thomson.
    • Soluciones tipo partícula: Solitones, frentes, ondas de choque, estructuras localizadas.
    • Estructuras espaciales disipativas (Pattern formation, convección de Raylegh-Benard, electroconvección, reacciones difusión y de catálisis, sistemas de descarga électricas, cristales líquidos, sección transversal de laseres, medios granulares fuera del equilibrio)
    • Hexágonos, rollos y cuadrados
    • Formas normales para estructuras espaciales disipativas (modelos de Liftchitz y Ginzurg-Landau).
    • Estructuras localizadas (reaccion difusión, optical bullet, oscilones, conjunto de osciladores acoplados).
    • Caos espacio-temporal
 
 

Bibliografía

 
 
  • H. D. Abarbanel, M.I. Rabinovich and M.M. Sushchik, Introduction to Nonlinear Dynamics for physicists (World Scientific Publishing, Singapore,1993).
  • A. Newell and J. Moloney, Non-linear Optics, Addison-Wesley, Redwood, CA 1992.
  • J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.(Springer-Verlarg, New York, 1983).
  • M. Cross and P. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. {\bf 65}, 851 (1993).
  • V. Arnold, Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires (MIR, Moscou, 1984).
  • J.D. Murray, Methematical Biology, I An Introduction, (Springer-Verlarg, New York, 2002).
  • P.G. Drazin, Nonlinear Systems, (Cambridge Texts in Applied Mathematics, 1992).
  • E. Ott, Chaos in Dynamycal System (Cambridge University Press,New York,1993).
  • L. Pismen, Patterns and interfaces in dissipative dynamics. Springer Series in Synergetics, Berlin Heidelberg.
  • N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (North Holland, 2007).
  • Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, (Perseus Books, 1994)
  
   
 

. Software Interactivos de ODE

 

  
 

Applets

  
   
  Requisitos: Mecánica  
  Evaluación: tareas semanales. El examen consistirá en un seminario sobre el análisis de un artículo  
 
Temas de presentacion
  
 
  • Escatering Inverso y teoria perturbativa
  • Cuasi periocidad: Soluciones periódicas caracterizadas por dos frecuencias genericamente anteceden un comportamiento caotico (propocisión de Ruelle-Takens )
  • Gluing: la colición de dos ciclos límites es acompañada por una cascada de bifurcaciones homoclinas que terminan con un comportamiento caotico.
  • Shilnikov: Las soluciones homclinas en tres dimensiones cuando explotan generan comportamientos caoticos. Shilnikov encontro el único criterio analítico conocido que predice el caos (Fabián Ramírez ).
  • Experimentos clásicos de comportamientos caoticos: sistemas hidordinámicos, la gotera, Rayleigh-Benard forzado, etc (Matías Soto).
  • Exponente de Lyapunov y aplicacion al caos: Caracterizacion a partir de las trayectorias de la sensibilidad a las condiciones iniciales.
  • Metodo de reconstrucion de takens de un atractor basado en series tesmporales.
  • FitzHugh-Nagumo model (Bibliografia Libre )
  • Hodgkin-Huxley model (modelo neurona, Bibliografia Libre, Simon Navia)
  • Doblamiento de Periodo: la aparición del caos es anticipada por una cascada de doblamientos de periódos sucesivos de una solución periódica.
  • Intermitencia: el caos aparece por la perdidad de estabilidad de una solución periódica (u otra), la cual origina un comportamiento regular acompañado por comportamientos irregulares esporádicos.
  • Ecuación de Duffing: estudio completo del oscilanor no lineal forzado armonicamente, es decir, explicar cualitativamente la dinámica del sistema (Guidobeth Sáez).
  • Automata celular: son sistemas dinamicos discretos cuyos elementos tienen una interaccion constante entre si tanto en el espacio como en el tiempo (Fernanda Padró).
  • Sincronizacion: Reconocidos por primera vez en 1665 por Christiaan Huygens, los fenomenos de sincronizacion son abundantes en nuestra vida cotidiana. Sistema tan diversos como los relojes, los grillos que cantan, los marcapasos, y las neuronas, exhiben una tendencia a funcionar en forma sincronica (Fernanda Blanc).
  • Belousov-Zhabotinsky reaction: un oscilador nolineal quimico.
  • Horseshoes y Teorema KAM: El Caos en los sitesmas Hamitonianos es caracterizado por estructuras geometricas complejas, desarrolladas en torno de las homoclinas y heteroclinas, las cuales gobierna la dinamica caotica de estos sistemas conservativos. Los sistemas integrables son estructuras fragiles y las soluciones periodicas son robustas (Camilo Núñez Barra).
  • Mapa de Henon: Este es uno mapa con dos variables paradigmaticos que exhibe auto similitiud (Brandon Alvarado).
  • Modelo del Panadero: Este es una mapa muy simple que exhibe comportamientos auto-similares y permitio entender la importancia de la iperbolicidad (Danilo Tapia)..
  • Control sobre el Caos: como por medio del control dinamico uno puede hacer que un atractor extrano se transforme en un ciclo limite.
  • Fractales: estrucuras geometricas de dimension no entera.
  • Modelo Rossler: no de los Modelo mas simple que exhibe comportamientos caoticos.
  • Conjunto de Julia y Mandelbrot: Es una de los ejemplos fractals mas sorpredentes (Vildoso Pinto, Paloma).
  • Metodo de Melmikov: Metodo para caracterizar la distancia entre variedades invarientes usado para la aparicion de homoclinas y caos.
  • Caos espacio Temporal (Daniel Lobos).
  • Frentes cerca de desaparicion de inestabilidad (Pedro Aguilera).
  • Dinámica compleja de Ginzburg-Landau (Alejandro Zamorano).
  • Spiral Chimera (Martin Bataille).