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\begin{document}

\sf

\title{Bote de periodo tres previo al caos en el sistema Bouncing Ball}
\author{Autor 1 y Autor 2}  
\date{ {\small Escrito el \today}  }

\maketitle

\begin{abstract}
Para el sistema Bouncing Ball describimos un movimiento 
peri'odico que es diferente al mostrado por 
diagrama usual 
tanto por su aparici'on, que es similar a la ventana 
peri'odica, como a la desaparici'on. Este movimiento 
repite rapidez, altura y tiempo de vuelo por cada 
tres choques y lo denominamos bote triple.

\end{abstract}
%%\begin{multicols}{2}


\section{Introducci'on}
El modelo Bouncing Ball ha sido largamente estudiado por ser 
uno de los sistemas m'as simples en mostrar un comportamiento 
ca'otico.

El modelo se compone por una part'icula total o particialmente 
inel'astica que colisiona contra una base que vibra 
sinusoidalmente bajo la influencia de la gravedad. La masa de la base 
es mucho mayor a la de la part'icula de modo que del movimiento 
del suelo no se altera por los choques.

Dependiendo de los par'ametros usados, el movimiento asint'otico, 
es decir el resultante despu'es de muchas colisiones, 
puede ser peri'odico. El caso en estudio es el del
bote triple o bote de per'iodo tres, tipo de 
movimiento en que la part'icula tiene 3 rapideces 
distintas  (el choque $i$ es 
igual al choque $i + 3$). Lo primero que hace que este tipo 
de movimiento 
se diferencie a los otros ya estudiados es que es una {\em 
soluci'on alternativa al bote simple} a la que el sistema puede 
llegar teniendo iguales par'ametros din'amicos (amplitud y 
frecuenciade oscilaci'on, restituci'on de la part'icula y 
gravedad) pero diferentes condiciones iniciales. Es decir, 
para ciertos par'ametros hay dos atractores posibles. 

Adem'as, el tipo de bifurcaci'on con que parte el bote triple 
es diferente a la que da inicio al bote doble, cu'adruple, etc., 
y su t'ermino es, tambi'en una bifurcaci'on diferente a las 
de los movimientos ya reportados.

El bote triple ha sido visto experimental, pero (suponemos que) 
no ha sido descrito acabadamente y un ejemplo de su trayectoria 
puede ser visto en la figura \reff{TrayectoriaTriple}.
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%==============================================================
\begin{figure}
\begin{center}
 \epsfig{file=TrayectoriaTriple.eps,width=11.0cm,angle=0} 
\caption{Trayectoria del bote triple para $r=0.8$ y $w=97081699$}
\label{TrayectoriaTriple}
\end{center} 
\end{figure}
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\section{Din'amica y estabilidad local} 
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Llamamos $\phi_{i}$ a la fase que tiene la base en la i-'esima 
colisi'on, $V_{i}$ es la rapidez de despegue que tiene la part'icula 
despu'es de la misma colisi'on,  $r$ es el coeficiente de restituci'on 
y, finalmente, definimos $t_{i}$ 
como el tiempo de vuelo que tiene la part'icula entre los choques 
$i$ e $i+1$.

Entre colisiones movimiento de la base en funci'on del tiempo 
est'a dado por la ecuaci'on \reff{AlturaBase} y el de la bola o 
part'icula est'a dado por \ref{AlturaParticula}
\beqa%==============================================================
Y_{base}(t) = A \sin(\phi_{i}+\omega t)
\label{AlturaBase} \\
Y_{bola}(t) = A \sin(\phi_{i})+V_{i} t -\frac{1}{2} g t_{i}^2
\label{AlturaParticula} \\
\eeqa%==============================================================

Con estas ecuaciones, m'as la regla de colisi'on, el mapa que lleva 
de un choque a otro 
queda descrito por las ecuaciones:
\beqa%==============================================================
\phi_{i+1}=\phi_{i}+\omega t_{i} \\
 V_{i+1}=(1+r) A \omega \cos (\phi_{i+1}) -r (V_{i}-g t_{i})
\eeqa%==============================================================

Notemos que la $t_{i}$ es una funci'on que depende de los par'ametros 
$\phi_{i}$ y $V_{i}$ y que para movimientos distintos al simple, no es 
trivial y resulta al imponer que las ecuacionesde \reff{AlturaBase} y 
\reff{AlturaParticula} son iguales, es decir, se debe resolver la ecuaci'on:
\beq%==============================================================
V_{i} t_{i} -\frac{1}{2} g t_{i}^2 = A \sin(\phi_{i+1}) -A \sin(\phi_{i})
\label{EcuacionTiempoDeVuelo}
\eeq%==============================================================

Esa acuaci'on es el motivo por el que los desarrollos deben ser 
num'ericos.

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\subsection{Estabilidad local}
El punto fijo ser'a estable s'i los m'odulos de la parte real de los 
autovalores del jacobiano de la funci'on que tiene los puntos fijos, 
evaluado en el punto fijo, son menores que 1.

En nuestro caso el jacobiano est'a dado por:

\[\xymatrix{\derpar{\phi_{i+3}}{\phi_{i}}&\derpar{\phi_{i+3}}{V_{i}}\\\derpar{V_{i+3}}{\phi_{i}}&\derpar{V_{i+3}}{V_{i}}}\]

Desde luego esa expresi'on s'olo tiene sentido en los puntos 
en que la funci'on es derivable. Supondremos que esto es as'i salvo 
que en la becindad del choque las rapideces del suelo y la part'icula 
sean muy parecidas.

Si no ocurre el caso anterior se puede aproximar num'ericamente 
cada derivada y obtener una aproximaci'on del jacobiano y sus 
autovalores en cada punto fijo triple.
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\section{Aparici'on del bote triple} 
El mecanismo de aparici'on del bote triple es la bifurcaci'on 
tangenicial, y para entenderla conviene partir revisando la 
aparici'on de la ventana peri'odica principal del mapa cuadr'atico 
o log'istico:

Se define el mapa $X_{i+1}=rX_{i} (1-X_{i})$, o bien $X_{i+1}=f(X_{i})$ con 
$f(x)=rx (1-x)$. El punto triple est'a es la soluci'on de la ecuaci'on 
$f^3(x)=x$, que es un polinomio de grado 8. Como su soluci'on no es sencilla, 
la funci'on se analiza gr'aficamente.
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\begin{figure}
\begin{center}
 \epsfig{file=MapaCuadratico1.ps,width=12.0cm,angle=0} 
\caption{Imagen de $f^3(x)$ en funci'on de $x$ para $r = 3.835$.}
\label{MapaC1}
\end{center} 
\end{figure}
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Existe en $r$\footnote{Esto pasa cuando $r=1+\sqrt 6$} en el que los 
puntos fijos cercanos de la figura 
\reff{MapaC1} se unen. Esta uni'on se conoce como 
bifurcaci'on tangencial ya que la curva es {\it tangente} a 
la recta identidad, para $r$ menores a ese $r$ cr'itico los puntos 
no existen, se dice que se aniquilaron mutuamente despu'es del 
contacto.

Para este mismo valor cr'itico de la variable $r$ del mapa cuadr'atico 
aparece el punto triple en el diagrama de bifurcaciones. 

La explicaci'on de la colorida imagen la postergo.
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\begin{figure}
\begin{center}
 \epsfig{file=Aparicion.eps,width=12.0cm,angle=0} 
\caption{Figura dif'icil de entender.}
\label{Aparicion}
\end{center} 
\end{figure}
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\section{Probabilidades} 
Ac'a s'olo se presentar'ian im'agenes, pero prefiero no sobrecargar 
a'un el documento.
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\section{Desaparici'on del bote triple} 
El estudio del bote simple, es decir aquel, en que la part'icula 
peri'odicamente colisiona despegando siempre de la misma altura 
y a la misma velocidad, se ha hecho y revisado por varios autores. 
Entender la estabilidad de este r'egimen permite predecir cuando 
termina: cuando los m'odulos de la parte real de los autovalores 
de la funci'on son superan la unidad hay una bifurcaci'ion 
(llamada flip bifurcation) y esto marca el inicio del bote doble 
(un bote por medio es igual).
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\begin{figure}
\begin{center}
 \epsfig{file=Autovalores.eps,width=12.0cm,angle=0} 
\caption{Autovalores asociados a la estabilidad del bote triple, 
r = 0.8}
\label{Autovalores}
\end{center} 
\end{figure}
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La figura \reff{Autovalores} muestra los autovalores que miden la estabilidad 
local del bote triple mientras 'este tenga una probabilidad no 
nula de aparecer en el diagrama de bifurcaciones. la imagen reve
la dos cosas, primero que el bote triple mientras existe es 
estable (muy razonable, pues lo vemos en las simulaciones) y, lo 
segundo y m'as importante, el bote desaparece {\em antes} de 
acercarse a la inestabilidad, {\em lo que sugiere un mecanismo 
de bifurcaci'on mucho m'as complejo que el de las flip 
bifurcacions.}
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\section{Simulaciones y aspectos num'ericos} 
Nuestras simulaciones resuelven la ecuaci'on 
\reff{EcuacionTiempoDeVuelo} usando el algoritmo de Newton en 
una becindad del punto en que se detecta que la diferencia de 
altura entre la bola y la base cambia de signo.
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%%\end{multicols}
\end{document}




