Enrarecimiento del diagrama de bifurcaciones

Patricio Cordero y Alejandro León

versión 4 de noviembre de 2009

Los cálculos están hechos a mano por lo que NO son muy confiables, además puede haber errores de trascripción. Pronto habrá revisiones de este material.

Índice

1. Primer enrarecimiento: bote triple y otros botes impares 1 1.1. Probabilidades y discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Segundo enrarecimiento: copias verticales del diagrama 3 2.1. Probabilidad de tener estar en una rama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Artículos de posible interés 4

1. Primer enrarecimiento: bote triple y otros botes impares

Una pregunta de interés es la de la formación del bote triple, ¿cómo aparece esta solución tan singular? Para responder a esta pregunta es conveniente partir entendiendo la aparición del bote triple en un sistema más simple: el mapa cuadrático o logístico.

Se define el mapa X_{i+1} = rX_{i}(1 − X_{i}), o bien X_{i+1} = f(X_{i}) con f(x) = rx(1 − x). El punto triple está es la solución de la ecuación f^{3}(x) = x, que es un polinomio de grado 8. Como su solución no es sencilla, la función se analiza gráficamente. Existe en r^{1} en el que los puntos fijos cercanos de la figura (1) se unen. Esta unión se conoce como bifurcación tangencial ya que la curva es tangente a la recta identidad, para r menores a ese r crítico los puntos no existen, se dice que se aniquilaron mutuamente después del contacto.

Para este mismo valor crítico de la variable r del mapa cuadrático aparece el punto triple en el diagrama de bifurcaciones. Lo que vuelve probable que este mecanismo sea el mismo del que nace el bote triple en el sistema Bouncing Ball.

1Esto pasa cuando r = 1 + \sqrt{6}

Figura 1: Imagen de f^{3}(x) en función de x para r = 3,835. Figura 2: Figura difícil de entender.

Figura 3: Probabilidad de obtener el bote triple con un coeficiente de trstitución r = 0,8.

1.1. Probabilidades y discontinuidad

Una posible interrogante tiene que ver con las propiedades de la probabilidad de aparición de este tipo de bote dentro del diagrama. A través de simulaciones se obtiene que la probabilidad como función de la frecuencia ω es una función discontínua, como se muestra en la figura (3)

2. Segundo enrarecimiento: copias verticales del diagrama

Una de las nuevas particularidades del diagrama de bifurcaciones que aparece al acercarnos al límite elástico son puntos fijos estables de alta energía.

Si se ignoran los botes impares fuera de la ventana periódica, una buena descripción de cada rama es la rapidez promedio que tiene la partícula para esa frecuencia.

< V >= \frac{∑ _{i=1}^{ν} V_{i}}{ν}  (1)

Donde ν es el tipo de bote, si ν = 1 el bote es sencillo. Si ahora consideramos la aproximación de botes largos que dice que la diferencia de altura del piso es despreciable c/r a la altura recorrida por la partícula, tenemos:

X_{i+1} − X_{i} = Diferencia de altura del piso entre colisiones ≈ 0 =⇒ V_{i}t_{i}− \frac{gt_{i}^{2}}{2} ≈ 0 Tomemos eso como una igualdad tenemos V_{i} = \frac{gt_{i}}{2}

=⇒< V >= \frac{∑ {ν \atop i=1} \frac{gt_{i}}{2}}{ν}  (2)

< V >= g \frac{∑ _{i=1}^{ν} t_{i}}{2ν} = g \frac{ϕ_{i+j} − ϕ_{i}}{2ν} \frac{T}{T} = \frac{gT n}{2ν}= \frac{π gn}{νω}  (3)

Conviene ahora dividir por la rapidez V_{0} = \frac{π g}{ω} que es la rapidez que tendría el bote sencillo, de tiempo de vuelo igual al periodo de la base, de existir en todo ω del diagrama de bifurcaciones. Con esto podemos definir formalmente una rama del diagrama de bifurcaciones como el conjunto de movimientos que tienen igual el siguiente número

Rama ≡ \frac{< V >}{V_{0}} = \frac{n}{ν}  (4)

Con esa muy simple caracterización de una rama podemos discriminar entre movimientos y dividir nuestro enrarecido diagrama de bifurcaciones en un conjunto de diagramas más sencillos; es importante notar que tanto la cantidad n como la cantidad ν deberían ser fáciles de medir en las simulaciones computacionales.

El uso de la aproximación de botes largos es completamente justificada dada la rapidez que tienen los nuevos movimientos.

2.1. Probabilidad de tener estar en una rama

Discontinuidad: Una de las características más interesantes de la probabilidad de converger a una rama, como función de la frecuencia, es que ésta es discontínua. La figura (4) muestra una la probabilidad de obtener un bote sencillo dentro de la primera rama, es decir, un bote en que el tiempo de vuelo de la partícula sea el periodo de osiculaciones del piso.

Notemos que la aproximación de botes largos también sirve para redefinir el mapa a iterar:

ϕ_{i+1} = ϕ_{i}+ 2\frac{V_{i}ω}{g}  (5)
V_{i+1} = (1 + r)Aω cos(ϕ_{i+1} ) + rV_{i}  (6)

Si se usa ese par de ecuaciones, basta tener una condicion inicial (ϕ_{0},V_{0}) e iterar hasta que el sistema se haya relajado, sin resolver ecuación alguna; ¡ gran ventaja cuando para cada frecuencia uno desea verificar más de mil condiciones iniciales!

3. Artículos de posible interés

Esta es una lista de algunos de los textos que tratan del tema. La lista está muy incompleta, pero puede servir como una referencia o bibliografía.

1. Chaotic dynicamics of a Bouncing Ball(1985): texto introductorio que presenta el diagrama de bifurcaciones en la ecuación diferencia conocida como Mapa cuadrático. Se menciona el coeficiente de Feigenbaun y una descripción cualitativa del sistema de la partícula que rebota.

Figura 4: Probabilidad de obtener el bote simple en la primera rama. En el eje horizontal está la frecuencia. Las condiciones usadas fueron equispaciadas y consideran una rapidez máxima V = 7. La diferencia entre esta función de probabilidades y la calculada con una distribución aleatoria de condiciones iniciales son despreciables.

2. Strange attractors of a Bouncing Ball(1986): se muestran los conceptos de atractor simple y de atractor extraño. La naturaleza de la publicación es experimental, y su objetivo es probar la existencia de atractores extraños en el sistema Bouncing Ball.

3. Suppression of period doubling in the dynamics of a Bouncing Ball(1986): escrito avanzado que comienza revisando las características de los sistemas perturbados resonantes cerca de los puntos de bifuraciones. La idea es demostrar que el desdoblamiento de períodos puede suprimirse al agregar una frecuencia al movimiento del piso, es decir, Altura_{piso} = Asin(ωt)+bcos(ω_{0}t). Si bien la publicación no es de directo interés para el estudio presente, la mención que hace al sistema sin perturbación es bastante completa.

4. Period doubling boundaries of a Bouncing Ball(1986): trabajo que muestra el paso del movimiento simple al movimiento de periodo dos. Incluye comprobaciones experimentales y algunos de los análisis hechos en las presentes anotaciones.

5. Self-reanimating chaos in the bouncing-ball system(1987): se describe un tipo de comportamiento caótico condicionado por la existencia de botes triviales. El artículo tiene una notación que dificulta mucho su lectura y no parece ser relevante para entender el enrarecimiento del diagrama de bifurcaciones que nos interesa.

6. Novel Temporal Behavior of a Nonlinear Dynamical System: The Completly Inelastic Bouncing Ball(1990): se revisa el comportamiento de la partícula que rebota con un coeficiente de restitución nulo.

7. Bouncing ball problem: Stability of the periodic modes(2009): este artículo es de gran interés porque además de introducir adecuadamente el tema, dar referencias precisas y tratar la estabilidad del bote simple, logra introducir muy indirectamente el concepto de ramas que hemos estado ocupando. Si bien no se plantean movimientos fuera del bote simple en que el cuociente de la suma de tiempos de vuelo y el periodo de la base sea mayor a uno, los conceptos desarrollados pueden sernos útiles, es un paper recomendable.

8. Completly inelastic ball(2009): este trabajo analiza el acso en que el coeficiente de restitución es cero, reinterpreta las bifurcaciones e indica que bajo ciertas condiciones de los parámetros la partícula podría rebotar o quedar adherida a la base.