Mecánica |
Prof. Patricio Cordero S. |
| Auxiliares: Karen Barrera y Sergio Cofré |
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Controles: C1: 9 de abril C2: 7 de mayo C3: 13 de junio
Examen: 11 de julio (14:00, salas B104, G306) Examen recuperativo 17 de julio 9:00 |
[10 - 14 marzo] ♦1♦ Vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula puntual. El vector velocidad angular. La derivada temporal de un vector D(t), en especial se ve el caso cuando la magnitud del vector se conserva pero su dirección cambia. ♦2♦ Coordenadas cilíndricas. Comienso de coordenadas intrínsecas: arco, rapidez, radio de curvatura, vector unitario tangente. Solo se comienza a plantear el asunto de la aceleración.
[17- 21 marzo] ♦1♦ Se cubre todo lo
relativos a coordenadas intrínsecas.
Se plantea las leyes de
Newton. Se habla de las fuerzas de contacto: normal y roce. Se resuelve
(algo confusamente) el problema de la partícula que puede deslizar
sin roce a lo largo de vara que gira con velocidad angular constante
barriendo un plano horizontal. ♦2♦ Se plantea el formalismo
general de N partículas, de centro de masa G, del
sistema de todas las ecuaciones de movimiento y de la ecuación para
G. Se distingue entre fuerzas externas al sistema y las internas. Se
resuelve un ejemplo.
Se comienza momento angular y torque de un sistema
de muchas partículas, llegándose a la ecuación para el
momento angular total, con el torque que resulta de todas las fuerzas
externas.
[24- 28 marzo] ♦1♦ Se resuelve en detalle ejemplo (sin g) de dos partículas de distinta masa, que se mueven por riel circunferencial de radio R unidas por hilo de largo R √2. Sobre la P1 actua todo el tiempo una fuerza tangencial de magnitud constante. Se observa que al plantear el problema con el lenguaje de momentio angular y torque es mucho más sencillo. Otro ejemplo: partícula desliza por plano horizontal, unida por hilo que pasa por agujero en el plano y en el extremo inferior del hilo hay otra partícula. ♦2♦ Péndulo esférico y su reducción tanto a péndulo plano como cónico. Ejemplo de sistema continuo: péndulo que consiste en semicircunferencia de densidad uniforme y que oscila en su propio plano en torno a su centro de curvatura.
[31 marzo - 4 abril] ♦1♦ Para un sistema de
partículas se ve el papel del centro de masa G y tanto del
momento angular como el torque con respecto a G. Se muestra los
distintos momentos angulares que se asocia a un sistema, los torque
asociados y las leyes que cumplen. Se indica un ejemplo que deben
desarrollar en casa de vara ideal con masas en los extremos, una de ellas,
la '2' atrapada entre suelo y pared, de modo que la '1' cae haciendo un arco
de circunferencia. El asunto es ver bajo qué condiciones la '2' se
despega del suelo antes que la '1' golpee el suelo.
Se alcanza a mencionar fuerzas centrales y la 2da ley de Kepler de 1609
(áreas iguales en tiempos iguales). ♦2♦ Buena parte de
la clase se dedica a discutir las dificultades que tuvieron para resolver el
ejercicio #3 y los conceptos involucrados.
Se alcanza a plantear la ley de la fuerza elástica. Si ella es la fuerza total
y --- como es central --- el momento angular se conserva.
[7 - 11 abril] ♦1♦ Se habla de la fuerza elástica (el resorte), sobre la descomposición en ecuación dinámica para ρ y la ecuación dφ/dt = L/mρ2. Ley de roce estático con ejemplo. ♦ C1 ♦2♦ Ley de roce deslizante con ejemplo 1D de dos partículas que bajan por pendiente unidas por un resorte: problema debe analizarse con cuidado porque los hay signos que dependen del movimiento específico. Se ve también el ejemplo de una especie de pédulo que se mueve en un plano inclinado y hay roce deslizante.
[14- 18 abril] ♦1♦ Se vio todo sobre roce viscoso lineal incluidos dos ejemplos. Se planteó la ley de roce viscoso cuadrático y se resolvió el caso en que es la única fuerza presente. ♦2♦ En el caso de roce viscoso cuadrático se plantea el lanzamiento vertical de un proyectil. Se muestra que las ecuaciones durante el ascenso es diferente la que se debe usar para estudiar el descenso. En el caso del ascenso se calcula el tiempo que transcurre desde el lanzamiento a altura cero y se determina la altura h que alcanza en ese momento. Luego se resuelve el descenso en general (con velocidad inicial no necesariamente nula) y la forma mucho más sencilla que ella adopta cuando la velocidad inicial es cero.
[21- 25 abril] ♦1♦ Se da los resultados
finales del problema planteado en la clase anterior: subida y bajada
vertical de un proyectil con roce viscoso cuadrático.
Se inicia
el capítulo de trabajo y energía. Se define la integral de
trabajo de una de las fuerzas que actua sobre un cuerpo. Se hace un ejemplo.
Se demuestra que en general el trabajo (desde "a" a "b") de la fuerza total
sobre un cuerpo es igual a la diferencia de energías ciníticas,
Wtot(a b) = Kb - Ka .
Se define potencia. Se da el concepto de fuerza conservativa y la
energía potencial asociada. Se demuestra que si la fuerza total es
conservativa la suma K+U es una energía conservada: la
energía mecánica total, EMT.
♦2♦ Se repasó el concepto de fuerza conservativa y la
noción asociada de energía potencial U para llegar a
que para toda fierza conservativa la fuerza puede escribirse como
F=-∇ U. Se mostró que en coordenadas cartesianas
la condición necesaria y suficiente para que una fuerza sea
conservativa es que las derivadas cruzasas sean iguales. Se
desarrolló en detalle el ejemplo del péndulo que es un
semicírculo de densidad uniforme que, debido a su peso, oscila en su
propio plano en torno a su centro de curvatura.
Se plantea el tema de
fuerzas centrales del tipo F = f(r)r.
[28 abril - 2 mayo] ♦1♦ Se demuestra que
toda fuerza de la forma F = f(r)r es conservativa y se
las llama fuerzas centrales. Se demuestra que la energía
potencial se relaciona a la función en la forma f(r) = -(1/r)
dU/dr, esto es F = -(1/r) dU/dr r. Como ejemplo se
obtiene que la fuerza de gravitación universal entre dos masas tiene asociada la
energía potencial -G m M (1/r - 1/ro), donde normalmente se
toma ro infinito.
Se demuestra además que si la fuerza total sobre una partícula
se puede descomponer en una parte conservativa y otra no conservativa
F = FC + FNC entonces el
trabajo de FNC es WNC =
EMT(final) - EMT(inicial). Se define potencia
P = dE/dt y se ve que P = F·v y se termina
demostando que PNC = dEMT/dt.
Se inicia capítulo sobre oscilaciones y equilibrio. Por medio de un
caso genérico 1D se ve que si la fuerza total es conservativa y tiene
asociada una energía potencial U(x) se puede tener equilibrio
estable tan solo en torno a los mínimos de U(x). Esto implica
que si la partícula está en un mínimo de
U(x) y tiene una pequeña energía cinética, su
ecuación de movimiento es aproximadamente la de un oscilador
armónico.
♦2♦ C2
♦2♦ feriado
[5 - 9 mayo] ♦1♦ Se repasa en caso con EMT = K + U unidimensional y se muestra que los mínimos de U corresponden a puntos de equilibrio estable. Se muestra que si el movimiento se mantiene siempre en torno a un mínimo de U(x) el sistema se comporta aproximadamente como un oscilador armónico. Si EMT = (C/2)(dq/dt)2 + U(q) la aproximación en torno al mínimo de U tiene frecuencia angular al cuadrado ω2 = U''/C. Esquemáticamente se describe un par de ejemplos. ♦2♦ Se ve el caso unidimensional de dos masas unidas a resortes que están fijas a paredes laterales y las masas tiene además un resorte entre ellas. A través de cambios de variables se obtiene un problema de autovalores y autovectores. Se dejan platedas otras situaciones en que habría que hacer análisis semejantes. Se abre el tema de oscilaciones en presencia de una fuerza viscosa lineal.
[12- 16 mayo] ♦1♦ Se vieron en detalle los
casos de: el oscilador amortiguado por una fuerza viscosa lineal (se se
separa en los casos sub y sobre amortiguados) y el oscilador forzado y
amortiguado.
♦2♦ Se comienza el capítulo sobre fuerzas centrales. Se
obtiene la noción de barrera centrífuga y la de
potencial efectivo U*. Se da un vistazo a tres ejemplos
importantes. Se plantea el caso genérico U = a B ra.
Dos casos particulares importantes son a=2 y a=-1.
-- semana sin clases
[26- 30 mayo] ♦1♦ Para potencial U(r)=aBra se demuestra que la velocidad angular de las órbitas circunferenciales de radio rc, Wc se relaciona a la frecuencias de pequeñas de r en torno al valor rc, Wpo por: Wpo2/>Wc2 = a+2 . Se hace notar que los en los casos a=2 y a=-1 la cantidad a+2 es un cuadrado perfecto. ♦2♦ Se obtiene la ecuación de Binet para w(φ) = 1/r(φ) . Ella lleva a una ecuación muy sencilla en el caso gravitacional. Se da expresión analítica a r(φ) en el caso gravitacional y se identifica con la ecuación paramétrica de una cónica: r(φ) = R/(1+e cos(φ)). La excentricidad e y el parámetro R se determinan en base a la energía y el momento angular. Se hace ejemplo de dos satélites que se acoplan.
[2- 6 junio] ♦1♦ Se dedica unas pocas
palabras al asunto de la velocidad de las estrellas en nuestra galaxia y la
necesidad de postular la existencia de materia oscura.
Se inicia
el capítulo de movimiento relativo. Primero se ve la relación
entre derivadas temporales en distintos sistemas de referencia hasta llegar
a la ecuación de movimiento en un sistema no inercial la que
contiene entre otras, las fuerzas centrífuga, de Coriolos y
trasversal. Se hace el ejemplo muy senciilo del movimiento visto desde el
interior de una cabina en caida libre.
♦2♦ Se aplica ecuación de movimiento en un sistema no
inercial al caso de un planeta P visto en el sistema de referencia
centrado en el sol, con P siempre en el eje X'. En otro ejemplo se
analiza en detalle el caso de partícula B que se mueve sin
roce en un aro de radio R tal que el aro gira con velocidad angular
Ω constante paralela a la gravedad estando B bajo el
efecto de su propio peso. Otro caso: se plantea caso de bolita en "columpio" que se
echa a rodar sobre la plataforma del columpio (que oscila en el plano
XY) y en una dirección contenida en el plano XY.
[9- 13 junio] ♦1♦ Se analiza los efectos no inerciales en la Tierra debido a que rota sobre su eje. Se muestra que la aceleración centrífuga altera localmente la aceleración de gravedad, en particular una plomada no apunta hacia el centro de la Tierra. Se escribe la fuerza de Coriolis y se analiza diferentes casos según si el movimiento es hacia el Este, el Sur o hacia arriba. Se argumenta cómo lo anterior afecta los movimientos de la atmófera y los océanos, a escala global. ♦ C3 ♦2♦ Se inicia capítulo de sobre cuerpos rígidos: momento angular y matriz de inercia. Se ve forma de descomponer la matriz de inercia (teorema de Steiner) IPij = IGij + M(RG2δij - RGi RGj) .
[16- 20 junio] ♦1♦ Se ve con cierto detalle el ejemplo del sistema rígido consistente en tres masas puntuales e iguales fijas a los vértices de un triángulo equilátero. Primero se obtiene la matriz de inercia y luego se estudia unos pocos péndulos donde este triángulo oscila de distintas maneras. Se enuncia un par de ejemplos más. Se anuncia que se verá el caso de un cilindro hueco: su matriz de inercia y distintas formas en que puede moverse. ♦2♦ Se obtiene la matriz de inercia IG de un tubo de radio externo R2, radio interno R1 y altura h. Lo anterior se aplica al caso en que el tubo anterior rueda por una pendiente. Se obtiene la expresión de la energía cinética de un cuerpo en función de su velocidad angular y matriz de inercia.
[23- 27 junio] ♦1♦ Se vio los momentos de
inercia en torno a un eje fijo n y el teorema de Steiner para estos
momentos de inercia. Se aplicó al caso de un péndulo asociado
a un cilindro maciso.
Se comienza a hablar del principio de mínima acción, de
restricciones, de grados de libertad. Se plantea L = K - U y las
ecuaciones de Euler-Langrange en este caso. Se aplica al caso trivial 1D de
una partícula puntual.
♦2♦ Se da una docena de ejemplos para los cuales se escribe el
lagrangiano.