Métodos numéricos para ... |
[19 - 23 agosto] ♦1♦ Intrucción sobre el conetido del curso, las caractarísticas que deben tener las tareas, lo programas que deben suberse a ucursos etc. Algo se dijo sobre los problemas que ya est´n enunciados para la Tarea 1. Se habla sobre derivadas numéricas y formas de obtener expresiones con diferencias pequeñas. Se ve y justifica el método trapezoidal para calcular una integral. ♦2♦ Se obtiene los métodos de integración de Simpson "1/3" y "3/8". Se alcanza a hacer el planteamiento general de la estrategia de cambio de variable, viéndose dos ejemplos sencillos. Hubo muchas preguntas sobre la tarea #1.
[26 - 30 agosto] ♦1♦ Se analiza el caso en
que el cambio de varible debe resolver casos en que el dominio original es
infinito y/o casos en que el integrando tiene una divergencia.
Se comienza con temas de álgebra lineal del tipo
Ax=b, en particular se muestra la forma de llegar a un sistema
triangular de ecuaciones. Se describe la factorización A=PLU
haciéndose notar lo sencillo que resultan tales sistemas. Se coloca
en ucursos el programa "GaussElim.c".
♦2♦ Se describe los pasos que debe darse para tener el
médo del gradiente conjugado.
Se inicia "recurrencias, puntos fijos y ceros": estabilidad num'erica,
distintos métodos para encontrar los ceros de una función, en
pa rticular el de Newton. Se da un esquema de la forma de proceder
matricialmente en el caso de funciones en varias variables.
[2 - 6 septiembre] ♦1♦ Se discute
métodos de interpolación: leales y suavizados. Entre otros
se ve el método de Lagrange, de mínimos cuadrados, el de
empalme cúbico, el que usa una función K.
Se inicia el capítulo de ecuaciones diferenciales: Euler y RK2. Se
da RK4.
♦2♦ Se plantea la idea de los algoritmos multipaso. Se presentan
AB3, AB4, AB5, AM3, AM4 y AM5. Luego se describe la estrategia
"predictor-corrector" dándose un pequeño ejemplo. Se inicia
el tema sobre algoritmos simplécticos. Se define el
"liouviliano" L = v⋅&nablar +
(F/m)⋅∇v como un operador que
contiene un operador de gradiente de las posiciones contraido con la
velocidad y un gradiente de las velocidades contraidos por la fuerza por
unidad de masa, L se separa en la forma L= A + B donde A =
v⋅&nablar y B =
(F/m)⋅∇v. También se vio que
eεA (rn, vm)
= (rn+1, vm) mientras que
eεB (rn, vm)
= (rn, vm+1).
[9 - 13 septiembre] ♦1♦ (Clase breve) Se
demostró que si
ε representa un incremento infinitesimal del tiempo, entonces
U≡ eε(A+B) = eεB/2
eεA eεB/2 +
O(ε3) ♦2♦ Se
resumió lo visto hasta ahora para proseguir hasta culminar con el
algoritmo Verlet-velocidad y el algoritmo de Verlet a secas.
Se inició el capítulo sobre condiciones de borde y problemas
de autovalores. Se dedujo con bastante detalle el algoritmo de Numerov para
el caso de una ecuación lineal de la forma: y''(x) - R(x)y(x) = S(x).
[23 - 27 septiembre] ♦1♦ Se resuelve un caso
sencillo de electrostática, ∇2Φ =
-re-r/(8π) con Φ(0)=0, y Φ(∞)=0. Se
muestra que en el caso general y''(x) - R(x)y(x) = S(x) con
condiciones de borde y(a)=ya y y(b)=yb.
Para ello, usando el algoritmo de Numerov, se integra desde un extremo, se
resuelve además la ecuación homogéa
yh''(x) - R(x) yh(x) = 0 y mezclando los dos
resultados anteriores se construye la solución del problema a
través de lo que se llama un "término de reparación".
Seguidamente se
vio el método que hace uno de la noción de función de
Green. Se muestra la forma como se construye la función de Green
G(x,x')
usando dos soluciones independientes de la ecuación homogénea.
♦2♦ Se aplica lo anterior para obtener una forma
genérica de expresar la solución de y''(x) - R(x)y(x) =
S(x) como una integral.
Se plantea el problema de autovalores -y''(x) + q(x)y(x) = λy(x)
en el cual, dadas con condiciones de borde, plantea determinar los valores
posibles de los autovalotes λ. Se resuelve el caso de una cuerda
ideal. Se plantea el caso de una cuerda inhomogénea como una
ecuación de Schrodinger unidimensional.
Se estudia el caso de la ecuación de Schrodinger unidimensional y la
forma de integrar desde los extremos a la izquierda y a la derecha y la
forma de usar un procedimiento de empalme para tener
solución continua con derivada también continua. Se analiza
el caso de la ecuación de Schrodinger en 3D para el caso con
simetría esférica. Se estudia las formas asintóticas
tanto a grandes distancia como en la vecindad del origen.
[30 septiembre - 4 octubre] ♦1♦ Se ve que
hay dos casos según si el potencial V(r) es más o menos
singular que r-2. Se analiza el caso con potencial de
Lennard-Jones.
Se comienza el capítulo de números aleatorios y
"métodos Monte Carlo". Se plantea los dos problemas que implican
generar una secuencia de números con una distribución de
probabilidad W(x) dada. Se señala la generalización del
problema al caso de muchas variables. ♦2♦ Se muestra un ejemplo
en que haciendo todos los pasos intermedios analíticamente se pude
tener una secuencia con distribución gaussiana.
Integrales Monte
Carlo: Se ve la forma Monter Carlo MC1 y, con un cambio de variable
apropiado se muestra el algoritmo MC2. Se el la estrategia de von Neumann.
[7 - 11 octubre] ♦1♦ Se enuncia algoritmo de
Metropolis y se bosqueja (no muy bien) una demostración.
♦2♦ Ecuaciones elípticas
Se muestra que existe una integral de acción
S tal que ∇2 F = G se obtiene a partir de
minimizar S. Luego se escribe el algoritmo de iteración que se
usa para integrar estas ecuaciones en 2D sin discutir aun las condiciones de
borde. También se muestra una acción discreta que conduce al
algoritmo de iteración ya dicho.
[14 - 18 octubre] ♦1♦ Se describe los
algoritmos de iteración asociados a casos en que hay condiciones de
borde derivativas. Se usa la "integral" de acción discreta S y
se muestra que las formulas de iteración ya definidos efectivamente
reducen al valor de S.
Se plantea una versión sencilla de
las ecuaciones de hidrodinámica 2D, se definen los campos de
corriente y de vorticidad y se plantea las ecuaciones para tales campos. En
la próxima clase se deducirá en detalle tales ecuaciones.
♦2♦
[21 - 25 octubre] [voy a conferencia] ♦1♦ nada ♦2♦ Karen habla de gráficos con C.
[28 octube - 1 noviembre] ♦1♦ Se comienza el capítulo de ecuaciones parabólicas. Se ve el caso explícito, tanto con condiciones de borde rígidas como el caso en que una de las condiciones de borde es derivativa. Luego se comienza a ver el caso tridiagonal con condiciones de borde rígidas. Se termina concluyendo que en este caso, para determinar del conocimiento de la función en tiempo n a los valores de la función en en tiempo n+1 se debe obtener primero todos los coeficientes α, luego todos los coefientes β para terminar obteniendo los valores de la función misma en el instante n+1. ♦2♦ viernes 1 es feriado
[4 - 8 noviembre] ♦1♦ Se ve en detalle la
forma de tratar la ecuación de Schrodinger: algoritmo de
Visscher.
Ecuaciones hiperbólicas. Se plantea el problema de integrar
ecuaciones de primer orden del tipo aUx + bUy =
c. Se escribe obtiene las ecuaciones dx/ds=a, dy/ds/b, dU/ds=c
el algorímo necesario. ♦2♦ Se desarrolla un ejemplo
analíticamente soluble, se encuentra las características del
problema y finalmente la solución. Luego se plantea el caso de un
sistema lineal de varias ecuaciones simultaneas y, en particular se plantea
el problema de ecuaciones hidrodiámicas 1D obteniéndose las
ecuaciones para las características.
[11 - 15 noviembre] ♦1♦ Se escribe
ecuaciones de una hidrodinámica unidimensinal con temperatura
constante, sin viscosidad y con ecuación de estado p =
Aργ. Son dos ecuaciones diferenciales acopladas para los
campos de densidad ρ y de velovidad v. La velocidad del sonido
c es tal que c2 = γp/ρ. Las dos
ecuaciones puden escribirse como una ecuación diferencial para el
vector [ρ, v] en la cual parace una matriz cuyos autovalores con
a1=v-c y a2=v+c. El problema se plantea termina planteando
como dx=(v+c)dt junto a c dρ+ρ dv y por otro lado
dx=(v-c)dt junto a c dρ-ρ dv. Se define el algoritmo
para estas ecuaciones.
Se comienza a plantear la hidrodinámica 1D de Nakamura la que, a
diferencia de la anterior, además de ρ y v incluye también
la entalpía H.
♦2♦ Se lleva el modelo de Nakamura a un sistema que puede
escribirse como una ecuación para el vector U de la
forma Ut + A Ux = ... , donde
A es una matriz de 3x3. Se encuentra la matriz P
que diagonaliza el sistema y así se escribe las tres
características y las ecuaciones que son válidas en ellas.
Se plantea el problema de una ecuación hiperbóloca y se reduce
al problema de dos características y la ecuación que se
satisface sobre cada una de ellas. Se comenzó a ver la forma de
discretizar estas ecuaciones.
[18 - 22 noviembre] ♦1♦ Se da todo el detalle de la forma de discretizar las ecuaciones hiperbólicas de segundo orden. Se conversó de otras cosas para no iniciar el último capítulo. ♦2♦ Se comienza con formalismo continuo: transformada de Fourier (TF) y su inversa. Se define convolución y correlación entre dos funciones g1(t) y g2(t). Se obtiene la TF de la convolución y la convolución. Luego toma como punto de partida el conocimiento de gk= g(t=kΔ) donde k es un entero, k=0, ±1, ±2, .. y se define la frecuencia fc= 1/2Δ. Se enuncia el teorema del muestreo.
[25 - 29 noviembre] ♦1♦ Se ve el caso de muestras finitas, en general complejas, {gk} con k=0, ... N-1 y se define además un conjunto de frecuencias fn. La trasnformada de Fourier de los gk son los Gn que tiene asociadas frecuencias fn. Una ingeniosa separació separación recursiva en partes pares e impares reduce el problema a la inversión de bits lo que, a su vez, conduce a la estrategia FFT.