Mecánica |
Prof. Patricio Cordero S. |
[11 - 15 marzo] ♦1♦ Vectores de posición
r, de velocidad v y de aceleración a. Velocidad angular
definida como el vector ω = r x v/r2. Se ve un par de ejemplos.
En uno se integró la ecuación diferencial
d2r/dt2 = g conociendo las condiciones iniciales. Se
comienza a ver coordenadas cilíndricas. ♦2♦ Se ve todas las
definiciones básicas asociadas a coordenadas cilíndricas y
cinemiática. Se define la variable de arco s y los vectores
unitarios tangente y normal a una trayectoria. Se define rapidez y las
aceleraciones normal y tangencial. Ejemplo de punto moviéndose
en una trayectoria helicoidal.
Se enuncia brevemente las leyes de Newton.
[18 - 22 marzo] ♦1♦ Se habla de las fuerzas de contacto: roce y normal. Ejem1: se resuelve ejemplo de partícula que se puede mover sin roce a lo largo de vara. La vara gira barriendo un plano horizontal manteniendo un punto fijo. Ejem2: partícula desciende sin roce, debido a su propio peso, por una curva helicoidal de radio y paso dados. Se alcanza a plantear las ecuaciones de movimiento. ♦2♦ Se termina la resolución del Ejem2. Se plantea la mecánica de muchas partículas. Se separa las fuerzas en internas al sistema y fuerzas externas. Se ve la noción de centro de masa G y la ecuación de movimiento de G, viéndose que ella depende tan solo de las fuerzas externas. Se resuelve ejemplo Ejem3 de dos partículas unidas por un hilo etc. Se define el momento angular del sistema de N partículas y se demuestra que su derivada con respecto al tiempo es igual al torque de las fuerzas externas.
[25 - 29 marzo] ♦1♦ Se plantea Ejem4: dos partículas que se mueves en una circunferencia unidas por un hilo; la P1 es arrastrada por fuerza tangencial de magnitud constante. Este Ejem4 es resuelto tanto viendo las ecuaciones de movimiento como la ecuación del momento angular. Ejem5: partícula P1 desliza por plano horizontal unida a un hilo tirante que pasa por un agujero; verticalmente del hilo cuega P2. Se plantea ecuaciones de movimiento y de momento angular. ♦2♦ Se replantea el Ejem5 y se muestra sus propiedades. Ejem6, péndulo esférico: se demuestra que hay una cantidad constante (la componente vertical del momento angular) y el problema queda reducido al de una ecuación para el ángulo del hilo con el eje vertical. Brevemente se menciona casos particulares: péndulo plano y péndulo cónico.
[1 - 5 abril] ♦1♦ Elementos de superficie
dS en coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y
esféricas. Se calcula el centro de masa de un semicírculo y se
determina la ecuación de movimiento de éste cuando oscila en
su propio plano en torno al centro de curvatura.
Se define los vectores
de posición de un sistema de partículas con respecto al centro
de masa G del sistema. Se descompone el momento angular con respecto
a un origen O en dos términos: lO =
lG + lOG. ♦2♦ Se
ve las ecuaciones dinámicas para lG y para
lOG definiendo los torques asociados. Dos
ejemplos: Ejem7: Dos partículas P1 y P2 unidas una vara .. se estudia
cuando la P2 despega del suelo. Ejem8: Vara con distribución continua y
uniforme de masa oscila en plano perpendicular debido a la gravedad.
[8 - 12 abril] ♦1♦ Toda la sesión son preguntas relativas al C1. [C1] ♦2♦ Se suspendieron las clases debido a marcha.
[15 - 19 abril] ♦1♦ Se describió minimalmente las fuerzas que se vería. Se obtuvo la ecuación tan solo en r para el caso 3D de una fuerza tipo -k r2 mostrándose que no es integrable. Ejem9: se muestra el caso de dos partículas unidas por un resorte apoyadas en un eje oblicuo. Luego roce estático que se ilustra con partícula que está en el interior de una superficie cilíndrica de eje vertical y no cae debido al roce estático. Ejem10: En el caso de roce deslizante se enuncia el caso de dos partículas que, unidas a un resorte, deslizan descendiendo por un eje oblicuo a la gravedad. ♦2♦ Se analiza el Ejem10. Se inicia roces viscosos y se estudia el vuelo de un proyectil sometido a mg y al roce -cv. Ejem11: con el mismo roce se resuelve caso de anillo en circunferencia horizontal: se deduce que la velocidad angular decrece exponencialmente.
[22 - 26 abril] ♦1♦ Se integra en forma
esquemática casos sencillos con roce cuadrático. Algo se
discute el ascenso vertical, el tiempo que tarda en detenerse y la altura a
la que llega.
Se inicia capítulo de Trabajo y Energía. Se define trabajo y
se da ejemplo sencillísimo donde la integral de trabajo da resultados
diferentes por dos caminos distintos. Se demuestra que el trabajo de la
fuerza total es el cambio de energía cinética, K. Se da la forma
de la energía cinética total usando coordenadas relativas al
centro de masa. Se introduce el concepto de fuerza conservativa y la
energía potencial que se le asocia.
♦2♦ Si la fuerza total se separa en una parte conservativa y el
resto y a la primera se asocia una energía potencial U, Se define la
energía mecánica total como EMT = K + U.
En el caso en que no hay fuerzas no conservativas EMT es
una cantidad conservada. Pero en general el trabajo de las todas las fuerzas
no conservativas, WNC es igual a
EMT(final) - EMT(inicial). Se ve que
el péndulo extendido semicircunferencial es conservativo. Se demuestra que
cualquier fuerza que depende tan solo de la coordenada esférica
r y que apunta en la direccigón del vector r es
conservativa.
[29 abril - 3 mayo] ♦1♦ Esta clase trató con el caso en que la fuerza total es conservativa, de modo que EMT = K + U en constante. Se discutió en detalle cómo los mínimos de U actuan como puntos de atracción y, si la energía cinética en un mínimo de U es muy pequeña, se tiene un movimiento oscilatorio en torno a ese mínimo. Se demostró que la frecuencia angular de tales oscilaciones es proporcional a la segunda derivada de U con respecto a la coordenada. Se vió algunos ejemplos incluyendo uno en el cual U tiene un mínimo en O o bien dos mínimos simétricos con respecto a O según el valor de un par de parámetros. ♦2♦ Se analiza oscilador doble. Se muestra la forma matricial de plantear el problema de las frecuencias propias. Se ve oscilaciones forzadas y algo se dice de resonancias. Oscilador amortiguado.
[6 - 10 mayo] ♦1♦ Se termina de describir el
oscilador amortiguado. Se ve el caso del oscilador forzado y amortiguado.
Se comienza el capítulo de fuerzas centrales
demostrándose el problema se reduce a una expresión para
dφ/dt dado r y el momento angular y una ecuación
tan solo para r(t). Se introduce la noción de barrera
centrífuga y de potencial "efectivo", U* con lo
cual el problema del movimiento se reduce a una expresión para la
velocidad angular proporcional a r2 y una ecuación
de segundo orden para r: un problema que en la práctica es
unidimiensional. ♦2♦ Se estudia para diversos U(r)
sencillos la existencia de soluciones del tipo órbitas
circunferenciales y se estudia la frecuencia de pequeñas oscilaciones
en torno a tales soluciones.
[C2]
[13 - 17 mayo] ♦1♦ Se muestra el algoritmo de Verlet para integrar las ecuaciones de movimiento. Se obtiene la ecuación de Binet para w(φ) = 1/r(φ) viédose que es una ecuación para cónicas. En particular, en el caso gravitacional, se estudia la excentricidad en relación con la energía de la solución. ♦2♦ Se ve una serie de relaciones geométricas entre órbitas elípticas, sus radios máximo, mínimo, los dos diámetros principales etc. Se demuestra que la tercera ley de Kepler tiene que ver con el diámetro máximo de la órbita elíptica. Se desarrolla ejemplo en que dos satélites en órbitas elípticas que comparten el mismo r- se acoplan en este perigeo y se obtiene la órbita del satélite resultante. Se comentó también algo más sobre materia oscura y energía oscura.
− semana sin clases de mitad de semestre −
[27 - 31 mayo] ♦1♦ Se inicia capítulo sobre movimiento relativo. Velocidad de un punto P visto desde dos sistemas de referencia. La ecuación de movimiento en un sistema de referencia no inercial incluye cuatro términos adicionales. Destacan la fuerza centrífuga, la fuerza de Coriolis y la fuerza trasversal. ♦2♦ Se trabajó algunos ejemplos. Suponiendo que el centro de la Tierra está fijo en un sistema de referencia inercial se obtuvo expresiones para la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Se vió que la primera hace conveniente definir una aceleración de gravedad "local" que no tan solo es distinta que g sino que en general no apuntan exactamente en la misma dirección. Se ve lo que ocurre con objeto en caída libre en el ecuador partiendo desde el reposo.
[3 - 7 junio] ♦1♦ Se ve el efecto de ls f de Coriolis sobre movimientos hacia arriba, hacia el Sur y hacia el Este. Se muestra que las fuerzas anteriores permiten comprender los vientos dominantes y las corrientes marinas. Se ve ejemplo de cuerpo que desliza en gran lago congelado y el "péndulo" de Foucault. Finalmente se ve algo de los efectos sobre gran nave espacial que gira. ♦2♦ Comienza el capítulo de sistemas extendidos definiéndose distintos sistemas de referencia. Se calcula el momento angular del sistema extendido en base a: la posición de un punto fijo O' en el cuerpo rígido, la posición del centro de masa con respecto a O' etc. Lo anterior lleva a la definición de la matriz de inercia IO' del cuerpo extendido. Se logra luego descoponer la matriz de inercia en otras dos: IO' = IG + IO'G. Este es el teorema de Steiner. En particular este teorema se puede escribir relacionando las maptrices de intercia IP relativa a un punto P fijo al cuerpo y a la matriz IG con respecto al centro de masa.
[10 - 14 junio] ♦1♦ Se bosqueja un par de ejemplos: uno formado por un sistema de tres partículas puntuales que forman un triángulo equilátero y otro que consiste en un cilindro de radio externo R2 y radio interno R1. Se indica los momentos de inercia y los ejes principales del sistema. ♦2♦ (por paro no hay clases)
[17 - .. junio] ♦1♦ Se ve los límites de matriz del cilindro con hueco en los casos de una vara y de un disco con hueco. Se ve también el caso en que el cilindro ahuecado rueda pendiente abajo estudiando la ecuación de momento angular. Se estudia la forma de expresar la energía cinética de un sistema rígido, se aplica esto al caso del cilindro ahuecado para resolver en forma mucho más sencilla la dinámica del descenso por un plano. Se plantea muy sumariamente el caso de un trompo y el caso de una semicircunferencia que rueda oscilantemente en plano vertical debido a su peso.
−−− Paro largo −−−
[.. - 18 julio] ♦2♦ Se repasó lo visto de sistemas rígidos, momento angular, matriz de inercia y esto se ilustró con dos ejemplos a partir de un sistema rígido que es una semicircunferencia de densidad uniforme que siempre está en un mismo plano vertical y donde el peso del sistema es la fuerza de interés. En el primer caso estudió las oscilaciones de este sistema cuando el punto fijo es el centro de curvatura. En el segundo caso esta semicircunferencia puede rodar sin resbalar por un plano horizontal. El sistema claramente oscila. Se estudia su ecuación de movimiento. Seguidamente se desarrolla el concepto de momento de inercia asociado a un eje fijo n que pasa por un punto P y para él se demuestra el teorema de Steiner.
[22 - 26 julio] [C3] no tengo registros de lo cubierto en estas clases.