Métodos numéricos |
[30 julio- 3 agosto] ♦1♦ En forma muy
esquemática se describe temas de álgebra lineal en torno al
problema Ax=b, en particular el método de
elimimación de Gauss y la factorización PLU. Se
menciona la existencia del método de gradiente conjugado.
Se describe el método de interpolación de Lagrange;
♦2♦ Se presentó dos métodos de
interpolación: el spline cúbico y el de ajuste no
paramétrico.
Recurrencias, puntos fijos en una variable. Ceros por encajonamiento y el
método de Newton. Luego lo mismo pero con varias variables.
En dos palabras se presentó expresiones discretas para la primera y
segunda derivada.
Se definió el método trapezoidal de integrar.
[6 - 10 agosto] ♦1♦ Método de Simpson
1/3 obtenido en detalle. Se plantea la fórmula para el caso
Simpson 3/8. Se explica porqué suele ser necesario hacer
cambio de variable para integrar en forma confiable y se ve ejemplos para
casos: con rango de integración infinito; con integrando de alto
contraste; con divergencia del integrando en un punto.
Se inicia el capítulo de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).
Se alcanza a ver los métodos de Euler, el método implícito y
Runge-Kutta 2.
♦2♦ Se dio las expresiones básicas que
definen el algoritmo Runge-Kutta 4. Introducción a algoritmos
multipaso. Se ve en cierto detalla el primero de los algoritmos
Adams-Bashforth, AB3 y luego se da las expresiones finales de AB4 y AB5. Se
sigue con los algoritmos Admas-Moulton y se da las expresiones AM3, AM4 y
AM5.
Se explica lo que es la estrategia predictor - corrector y se ilustra
para las ecuaciones de Newton usando AB3 combinado con AM3.
Se ve brevemente el algoritmo llamado "leapfrog".
Se inicia un puente hacia los algoritmos simplécticos.
[13 - 17 agosto] ♦1♦Se vio el formalismo
general sobre algoritmos simplécticos para culminar en el algoritmo
Verlet velocidad y de este el algoritmo de Verlet. ♦2♦
Se demostrló, en el caso unidimensional, que el Jacobiano asociado al
algoritmo Verlet-velocidad es la unidad y se comentó que esto es
cierto en cualquier dimensión. Se hizo un análisis ligero
sobre la estabilidad del algoritmo de Verlet.
Se inició el capítulo sobre problemas de condiciones de borde
y autovalores. Se mostró en un ejemplo electrostático que se
debe imponer condiciones de borde en dos puntos diferentes. Se dedujo el
algoritmo de Numerov.
[20 - 24 agosto] ♦1♦ Se vio la forma de
usar el algoritmo de Numerov a partir de la condición de borde en un extremo, resolver la
ecuación homogénea asociada con condición de borde nula
en el mimso extremo y luego mezclando ambas para tener la solución
final satisfaciendo las condiciones de borde deseadas.
Se continuó con el método que hace uso de una función de
Green, el que se vió completo. ♦2♦ Se analiza la
ecuación de autovalores -y"+q(x)y=λy con condiciones
de borde nulas en los extremos del dominio de integración y donde
λ es un autovalor por determinar. Primero se
muestra el caso sencillo de una cuerda: -y"=λy . En el caso
de la ecuación general se plantea que debe integrarse desde un
extremo izquierdo hasta un punto más allá de un punto de empalme
e y también desde un
extremo derecho hasta un punto más a la izquierda del punto de
empalme. Se debe exigir continuidad de la función y de su primera
derivada en ese punto. Esto determina los autovalores.
[27 - 31 ago] ♦1♦ paro ♦2♦ Se introduce la idea de números aleatorios y la forma en que se relacionan funciones W(x). Se muestra una forma analítica de obtener una secuencia xj que tengan distribución $W(x) dada. Se da ejemplos. Se ve el mismo problema pero con varias variables: W(x1, x2, x3 ..). Se ve las formas de definir integrales via método Monte Carlo. Nuevamente la regla que se obtiene es analítica.
[3 - 7 sep] ♦1♦Algoritmo de von Neumann. Algoritmo de Metropolis. ♦2♦ Integración numérica usando Metropolis.
[10-14 sep] ♦1♦ Ecuaciones elípticas y tipos de condiciones de borde. Método de relajación y de sobrerelajación. Intragral de acción para la ecuación de Poisson. Forma discreta de la integral acción y su variación cuando se cambia la variable en un solo punto del dominio. ♦2♦ Se plantea una versión sencilla de las ecuaciones hidrodiniámicas y se especializan al caso 2D, con densidad uniforme excepto en el témino del peso. Se introducen los campos seudoescalares de corriente ψ y de vorticitad ζ. Finalmente se discretiza obteniéndose tres ecuaciones elípticas acopladas para ψ, ζ y T. Todo está adimensionalizado.
[24-28 sep] ♦1♦ Se ve en detalle las
ecuaciones discretas que deben usarse para iterar las funciones corriente,
vorticidad y temperatura en el caso del problema de convección
térmica. ♦2♦ Votticidad como circulaciión de la
velocidad. Ejemplo de flujo y obstáculo.
Comienzo de ecuaciones parabólicas. El método directo.
[1 - 5 oct] ♦1♦ Se deduce en detalle el
método tridiagonal en el caso de condiciones rígidas.
♦2♦ Se plantea como ejercicio personal el método
tridiagonal en los casos en que una o ambas condiciones de borde sean
derivativas. Se desarrolla en detalle el caso de una ecuación
parabólica con condiciones de borde periódicas
demostrándose que se debe resolver dos problemas tridiagonales.
Se plantea la ecuación de Schrodinger y se demuestra que ella
implica una ecuación de continuidad.
[8 - 12 oct] ♦1♦ Se ve el algoritmo de
Crank-Nicolson para la ecuacińn de Schrodinger y luego el algoritmo
de Visscher. Con este último se determina la preservación de
la probabilidad total P = ∫ |ψ|2 dV. ♦2♦
Método implícito para ecuaciones lineal
inhomogéneo.
Comienzo de ecuaciones hiperbólicas.
Ecuaciones de primer orden y el método de Lax-Wendroff. Comienzo de
método de las características.
[15 -19 oct] ♦1♦ feriado ♦2♦ Elaboro ejemplo de ecuación y sus características. Se explica algoritmo para integrar a lo largo de las características. Sistema de M ecuaciones lineales de primer orden. Ellas implican M características. Comienzo de ejemplo con ecuaciones de fluido.
[22- 26 oct] ♦1♦ Se desarrolla ejemplo de
ecuaciones de fluidos 1D incompresibles y viscosidad nula tomadas del libro
de G.D. Smith. Se obtiene
c dρ/ρ ± dv = 0 para ser integradas sobre las
caracterrísticas dx/dt = v ± c respectivamente. Se
describe el algoritmo para integrarlas usando las características.
Se inicia descripción del modelo de S. Nakamura de ecuaciones
hidrodinámicas unidimensionales. ♦2♦ Se lleva las
ecuaciones del modelo de Nakamura a una ecuación de tres componentes
para el vector U = [v,p,H] de la forma Ut +
A Ux = F, se obtiene la matriz P que diagonaliza a
la matriz A. A partir de ahí se ve como generar las
caracterrísticas y como integrar a lo largo de ellas.
Se inicia estudio de ecuaciones cuasilineales de segundo orden para
determinar la clase de ellas que son hiperbólicas. Un detallado
análisis lleva a que existen dos familas de caracterrísticas
y se bosqueja los algoritmos que permiten integrar a lo largo de ellas.
[29 oct - 2 nov] ♦1♦ Se ve la forma de
tratar las condiciones de borde, rígidas o derivativas de estas
ecuaciones.
Se comienza el capítulo sobre fft presentando la
notación en el caso de la TF estándar. ♦2♦
feriado
[5 - 9 nov] ♦1♦ Se comienza con una muestra discreto infinita de valores gk asociados a instantes t=Δ k donde k es un entero. y cómo con estos valores se define una función continua g(t) que en particular cumple con que g(t=kΔ)=gk. A un conjunto de N valores consecutivos gk se les asocia su "transformada de Fourier", Gn de tal manera que Gn+N=Gn. Estas funciones tiene una frecuencia asociada fn. Se logra escribir los gk como una suma finita (N sumandos) de los Gn = G+n + Wn G-n. ♦2♦ Presentación sobre la FFT. -fin-
[12 - 16 nov] ♦1♦ Sobre la historia de la física. ♦2♦
[19 - 23 nov] ♦1♦ Plan: materia y energía oscuras. ♦2♦