Principios fundamentales de strain

Hay un número grande de razones por las cuales es útil determinar el estado de strain en rocas. Por ejemplo, la determinación de strain puede ser utilizada para encontrar el espesor original de una secuencia sedimentaria deformada o calcular el desplazamiento a lo largo de una zona de cizalle.

Cuando una roca es sometida a un stress, las partículas de la roca son desplazadas. El tipo de desplazamiento se clasifica en cuatro categorías, dos de desplazamiento de cuerpo rígido y dos de desplazamiento de cuerpo no rígido. Éstas son:

1. Traslación de cuerpo rígido.
2. Rotación de cuerpo rígido.
3. Distorción (cambio de forma).
4. Cambio de volumen.

1. Traslación de cuerpo rígido es el movimiento de un cuerpo sin cambios de forma, de manera que cualquier línea dibujada en el cuerpo mantiene su orientación original. Los desplazamientos paralelos a los ejes x e y se denominan u y v respectivamente y el vector de desplazamiento resultante (R) es el mismo en cualquier parte del cuerpo.

2. Rotación de cuerpo rígido corresponde también al movimiento del cuerpo en el espacio sin cambio de forma, pero los vectores de desplazamieto no son los mismos en todas las partes del cuerpo. Existe un punto estacionario alrededor del cual el cuerpo rota.

3. Distorción involucra el movimiento de partículas, unas con respecto a las otras, causando un cambio en la forma del cuerpo. Los desplazamientos de las partículas no son los mismos y existe un gradiente de desplazamiento, cuya magnitud da una medida de la distorción o strain. Por ejemplo, el strain e_x (extensión) en la dirección x es definido como un gradiente de desplazamiento
   e_x  =  $${\frac{{du}}{{dx}}}$$.

4. Cambios de volumen no alteran la forma del cuerpo y a menudo se les denomina dilatación, ya sea positiva o negativa.

Los desplazamientos en rocas involucran generalmente los cuatro tipos mencionados, pero en general predomina una de los tipos.

Figura 8.1: 4 tipos de desplazamiento.

Strain se puede definir como el cambio en la forma y tamaño que ha experimentado un cuerpo durante la deformación. El strain es homogéneo si los cambios en tamaño y forma son proporcionalmente idénticos en todas las partes del cuerpo, por pequeñas que éstas sean, e idénticos a los cambios que ha sufrido el cuerpo como un todo. Como consecuencia de lo anterior, para cualquier strain homogéneo las superficies planas permanecen planas, las líneas rectas permanecen rectas y planos y líneas paralelos permanecen paralelos. El strain es inhomogéneo (no homogéneo o heterogéneo) si los cambios en tamaño y forma de las pequeñas partes del cuerpo son proporcionalmente diferentes de lugar a lugar y diferentes a los cambios sufridos por el cuerpo como un todo. Las líneas rectas se curvan, los planos se transforman en superficies curvas y las líneas y planos paralelos generalmente no permanecen paralelos.

Figura 8.2: Strain homogéneo y no homogéneo.

A pesar que el strain en rocas es generalmente no homogéneo, es posible considerar pequeños dominios en los cuales el strain es aproximadamente homogéneo. Determinando los estados de strain de esos dominios se puede inferir el strain heterogéneo, más complejo, de una región. El tamaño de los dominios varía enormemente, dependiendo de la región. Por ejemplo, en una región intensamente plegada los dominios pueden ser de pocos metros, en otras, en cambio, los dominios pueden ser de kilómetros.

La subdivisión de regiones deformadas de manera no homogénea en pequeños dominios donde el strain es homogéneo simplifica en problema de determinación de strain. Este problema se facilita aún más considerando el strain en dos dimensiones, es decir, en una de las caras del cuerpo. El estado de strain en tres dimensiones se puede determinar posteriormente, combinando los datos bidimensionales de tres caras no paralelas entre sí. Para facilitar la comprensión y el análisis de strain, trabajaremos entonces con strain en dos dimensiones denominado strain plano.

Durante un strain bidimensional homogéneo las líneas rectas permanecen rectas, las líneas paralelas permanecen paralelas y un círculo es deformado en una elipse, la elipse de strain. Sin embargo, en general, el largo de una línea y el ángulo entre dos líneas cambia.

Cambios en ángulo indican la cantidad de deformación de cizalle en una dirección particular y cambios en el largo dan una medida de la elongación en esa dirección. Para medir estos cambios son utilizados una serie de parámetros.

Strain linear

El tamaño de un cuerpo es medido por su volumen, el cual es proporcional al producto de tres largos característicos del cuerpo. Por ejemplo, el volumen V de un bloque rectangular que tiene lados l₁, l₂ y l₃ es V  =  l₁l₂l₃ y el volumen de un elipsoide que tiene semiejes de largo r₁, r₂ y r₃ es V  =  ${\frac{{4}}{{3}}}$$\pi$r₁r₂r₃. En coordenadas cartesianas la descripción del cambio de tamaño requiere de la especificación del cambio del largo en las tres direcciones.

El cambio en largo absoluto es una medida inadecuada del estado deformacional de un segmento lineal ya que para un cambio de largo dado la intensidad del cambio es mucho mayor para un segmento corto que para uno largo. Entonces, el alargamiento es expresado como una proporción del largo original. Dos medidas usadas comúnmente son el stretch S_n y la extensión e_n. El subíndice indica la dirección paralela a algún eje. El stretch S_n es la razón entre el largo deformado l de un segmento y su largo original L

S_n  =  $${\frac{{l}}{{L}}}$$.

La extensión e_n de una línea es la razón entre su cambio en el largo $\Delta$L y su largo inicial L. El cambio en el largo es l - L

e_n  =  $${\frac{{l-L}}{{L}}}$$  =  $${\frac{{\Delta L}}{{L}}}$$.

Es decir, la extensión es el cambio en el largo de una línea por unidad de largo inicial. La extensión puede ser expresada como porcentaje, multiplicando e por 100 .

Note que el estiramiento tiene signo positivo y el acortamiento negativo.

De las ecuaciones anteriores se puede ver que e_n y S_n están relacionadas

e_n  =  $${\frac{{l}}{{L}}}$$  -  $${\frac{{L}}{{L}}}$$  =  S_n  -  1    o   I>S_n  =  e_n  +  1.

Valores S_n  >  1 y e_n  >   0 representan aumento en el largo (estiramiento o alargamiento) de una línea, valores 0  <  S  <  1 y e  <   0 representan disminución en el largo (acortamiento) de una línea.

	Cambio en el largo	Stretch	Extensión
	$\Delta$L	Sn  =  ${\frac{{l}}{{L}}}$	en  =  ${\frac{{(l\ -\ L)}}{{L}}}$
No deformado	$\Delta$L  =   0	Sn  =  1	en  =   0
Acortamiento	$\Delta$L  =  l  -  L  <   0	0  <  Sn <  1	en  <   0
Alargamiento	$\Delta$L  -  l  - I>L  >   0	Sn  >  1	en  >   0

Elongación cuadrática

Elongación cuadrática es simplemente el cuadrado del stretch y se utiliza el símbolo $\lambda$.

$$\lambda$$  =  $$\left(\vphantom{ \frac{l}{L} }\right.$$$${\frac{{l}}{{L}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{l}{L} }\right)^{{2}}_{}$$  =  (e_n  +  1)².

Strain natural

Strain natural o logarítmico es la integral de todos los incrementos de extensión infinitesimales requeridos para componer la deformación. El largo de referencia para cada incremento de largo dl es el largo instantáneo deformado l.

$$\overline{{\epsilon}}$$  =  $$\int_{{l_{f}}}^{{L}}$$ $${\frac{{dl}}{{l}}}$$  =  ln$$\left(\vphantom{\frac{l_{f}}{L}}\right.$$$${\frac{{l_{f}}}{{L}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{l_{f}}{L}}\right)$$ =  ln(S_n)

donde L es el largo inicial, l_f es el largo final y ln indica logaritmo natural. Note que el strain natural es el logaritmo natural del stretch.

Strain volumétrico

Se referirá como el stretch volumétrico (S_v) y la extensión volumétrica (e_v). Si un volumen no deformado es V y el volumen deformado es v

S_v  =  $${\frac{{v}}{{V}}}$$   e_v  =  $${\frac{{v\ -\ V}}{{V}}}$$  = tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay14953#
  =  S_v  -  1.

Un bloque rectangular que sufre strain volumétrico tiene lados no deformados ( L₁, L₂ y L₃) y lados deformados ( l₁, l₂ y l₃). El stretch volumétrico es

S_v  =  $${\frac{{l_{1}l_{2}l_{3}}}{{L_{1}L_{2}L_{3}}}}$$  =  S₁S₂S₃  = e₁  +  1)(e₂  +  1)(e₃  +  1).

Strain de cizalle

Un cuerpo puede también cambiar de forma sin cambiar de volumen. Por ejemplo, un cubo se puede deformar en un romboedro y una esfera en un elipsoide. Los cambios en la forma son descritos mediante cambios en el ángulo entre dos líneas originalmente perpendiculares. El cambio en ángulo se denomina ángulo de cizalle $\psi$ y el strain de cizalle e_s se define como

e_s  =  0, 5 tan$$\psi$$.

Esta definición corresponde el tensor de strain de cizalle. La medida más común de strain de cizalle es $\gamma$  =  tan$\psi$.

Para dos líneas originalmente perpendiculares una disminución del ángulo entre ellas es considerando strain de cizalle positivo y un aumento en ese ángulo, un strain negativo. Tanto $\gamma$ como e_s aumentan de 0 en el estado no deformado a $\infty$ (infinito) cuando $\psi$  =  90⁰.

Figura 8.3: Strain de cizalle.

Strain finito e infinitesimal

Cualquier sustancia deformada tiene una historia involucrada, ella pasa desde su condición inicial por una serie de estados deformados antes de llegar a su estado de strain final. Este proceso se conoce como deformación progresiva. Los geólogos que estudian rocas deformadas por procesos tectónicos naturales ven sólo el producto final de los procesos de deformación conocido como el estado de strain finito del material. Las estructuras que están desarrolladas en las rocas dependen, hasta cierto punto, del estado de strain finito, pero muchas dependen probablemente del progreso real de la deformación. El estado de strain finito puede ser evaluado observando la deformación de objetos de forma original conocida. El progreso del proceso de deformación, sin embargo, tiene una consecuencia geométrica muy importante, la cual depende del modo en que el estado de strain finito en cualquier tiempo es modificado por nuevos incrementos o distorción. La deformación progresiva puede ser considerada como modificaciones de un estado de deformación particular causadas por pequeñas distorciones incrementales o strains infinitesimales. Los cambios del strain finito están relacionados con la naturaleza de los strains infinitesimales y también con los estados de stress reales que existen en cualquier tiempo.

Strain finito en 2-D

1. Extensión simple paralela a un eje. Las coordenadas (x, y) de cualquier punto antes de la deformación es desplazado a posiciones (x₁, y₁), donde
   $$\begin{split} x_1\ &=\ (1\ +\ e)x\\ y_1\ &=\ y \end{split}$$

2. Extensión paralela a dos ejes.
   $$\begin{split} x_1\ &=\ (e_x\ +\ 1)x\\ y_1\ &=\ (e_y\ +\ 1)y \end{split}$$

   El cambio de área después de la deformación es (e_x  +  1)(e_y  +  1). Cuando (e_x  +  1)  =  ${\frac{{1}}{{(e_y\ +\ 1)}}}$ no hay cambio de área y el strain se conoce como cizalle puro.

   Figura 8.4: Extensión paralela a 1 y 2 ejes.

   
   $$\left(\vphantom{ \begin{split} \text{Cambio de \'{a}rea:}\ & \tex... ..._1\ =\ (e_x\ +\ 1)x(e_y\ +\ 1)y\ =\ (e_x\ +\ 1)(e_y\ +\ 1). \end{split}}\right.$$$$\begin{split} \text{Cambio de \'{a}rea:}\ & \text{\'{a}rea in... ...e_x\ +\ 1)x(e_y\ +\ 1)y\ =\ (e_x\ +\ 1)(e_y\ +\ 1). \end{split}$$$$\left.\vphantom{ \begin{split} \text{Cambio de \'{a}rea:}\ & \tex... ..._1\ =\ (e_x\ +\ 1)x(e_y\ +\ 1)y\ =\ (e_x\ +\ 1)(e_y\ +\ 1). \end{split}}\right)$$

3. Cizalle simple. Las partículas son desplazadas en una dirección paralela al eje x de modo que cualquier línea paralela al eje y en cualquier punto es cizallada en un ángulo $\psi_{1}^{}$.
   $$\begin{split} x_1\ &=\ x\ +\ y\tan\psi_1\\ y_1\ &=\ y. \end{split}$$

   No hay cambio de área.

   

4. Cizalle simple superimpuesto. Si el cuerpo deformado del caso anterior es sujeto a otro cizalle, paralelo al eje y, de manera que líneas paralelas al eje x son deflectadas en un ángulo $\psi_{2}^{}$, entonces
   $$\begin{split} y_2\ &=\ y_1\ +\ x_1\tan\psi_2\\ x_2\ &=\ x_1 \end{split}$$
   o sustituyendo
   $$\begin{split} x_2\ &=\ x\ +\ y\tan\psi_1\\ y_2\ &=\ y(1\ +\ \tan\psi_1\tan\psi_2)\ +\ x\tan\psi_2. \end{split}$$

   Si el orden de las deformaciones de cizalle sucesivas cambia, pero no la cantidad, la transformación final también cambia.

   1. Primera deformación
      $$\begin{split} x_1\ &=\ x\\ y_1\ &=\ y\ +\ x\tan\psi_2. \end{split}$$

   2. Segunda deformación
      $$\begin{split} x_2\ &=\ x_1\ +\ y_1\tan\psi_1\\ y_2\ &=\ y_1 \end{split}$$
      o
      $$\begin{split} x_2\ &=\ x(1\ +\ \tan\psi_1\tan\psi_2)\ +\ y\tan\psi_1\\ y_2\ &=\ y\ +\ x\tan\psi_2. \end{split}$$

   Lo anterior demuestra que cuando dos strains se superimponen, el producto final depende del orden de las deformaciones.

   

5. Cizalle simple y extensión paralela ambos ejes. Si la deformación por cizalle simple es seguida por cizalle puro, las coordenadas de los puntos después de las dos deformaciones son
   1. Primera deformación
      $$\begin{split} y_1\ &=\ y\\ x_1\ &=\ x\ +\ y\tan\psi_1. \end{split}$$

   2. Segunda deformación
      $$\begin{split} y_2\ &=\ (e_y\ +\ 1)y\\ x_2\ &=\ (e_x\ +\ 1)(x\ +\ y\tan\psi_1). \end{split}$$

   

   De nuevo, si el orden cambia, la transposición final también cambia

   $$\begin{split} x_2\ &=\ (e_x\ +\ 1)x\ +\ y(e_y\ +\ 1)\tan\psi_1\\ y_2\ &=\ (e_y\ +\ 1)y. \end{split}$$

6. Transformación general. El desplazamiento de strain más general está dado por
   $$\begin{split} x_1\ &=\ ax\ +\ by\\ y_2\ &=\ cx\ +\ dy. \end{split}$$

El estado de strain: el elipsoide de strain y el tensor de strain

Se puede conocer el estado de strain en un punto si, para una línea de cualquier orientación se puede determinar su extensión y el strain de cizalle con respecto a cualquier otra línea inicialmente perpendicular a ella. Cualquier strain homogéneo deforma una esfera en un elipsoide, llamado elipsoide de strain o en strain plano, un círculo en la elipse de strain.

Stretch, extensión y strain de cizalle tienen todos una interpretación geométrica sencilla relacionada con el elipsoide de strain. Se describirá estas relaciones para el caso bidimensional (strain plano), pero son esencialmente las mismas cuando se extrapolan a tres dimensiones.

Supongamos un círculo de radio R  =  1 en el estado no deformado. Después de la deformación, cualquier radio del círculo es transformado en un radio r de la elipse de strain cuyo largo varía con la orientación. A pesar que R y r son líneas constituidas por los mismos puntos materiales, ellas difieren en largo y orientación debido a la deformación. Si se superimpone el círculo original a la elipse de strain, se puede ver que cualquier radio de la elipse ha sido alargado o acortado. Usando las definiciones de stretch y extensión y R  =  1 se encuentra que

S  =  $${\frac{{r}}{{R}}}$$  =  r    y    e  =  $${\frac{{r\ -\ R}}{{R}}}$$ =  $${\frac{{\Delta R}}{{R}}}$$  =  $$\Delta$$R.

Así, para la deformación del círculo unitario, el radio de la elipse de strain es el stretch y la diferencia entre el radio de la elipse y del círculo es la extensión.

El strain de cizalle de una línea es determinado con referencia a otra línea originalmente perpendicular a ella. En un círculo, una línea T dibujada perpendicularmente a cualquier radio R, en la periferia del círculo, es tangente al círculo. Después de la deformación, las líneas R y T son transformadas en las líneas r y t, respectivamente. A pesar que en el estado deformado estas líneas ya no son perpendiculares, t es todavía tangente a la elipse. De acuerdo a lo anterior, cualquier radio y su tangente asociada a la elipse de strain definen el ángulo entre dos líneas que fueron perpendiculares en el estado no deformado. El cambio en el ángulo es así fácilmente construido y es una medida del strain de cizalle para ese par de líneas.

El tensor de strain

El elipsoide de strain es una representación completa del estado de strain en un punto. Se puede describir este estado si se conoce la extensión y los dos strains de cizalle para tres segmentos lineales que fueron mutuamente perpendiculares en el estado no deformado. Se considera las componentes volumétricas y de cizalle separadamente.

Para un sistema coordenado ortogonal (x₁, x₂, x₃) en el estado no deformado, la extensión de una línea material de largo L₁ inicialmente paralela a x₁ es

e₁₁  =  $${\frac{{\Delta L}}{{L_1}}}$$.

El primer subíndice de e₁₁ indica que la línea es inicialmente paralela a x₁ y el segundo subíndice indica que el cambio en largo es también paralelo a x₁. Relaciones similares definen las extensiones e₂₂ y e₃₃ para líneas originalmente paralelas a x₂ y x₃ respectivamente.

Para los componentes de cizalle del strain, líneas materiales originalmente paralelas a x₁, x₂ y x₃ son, después de la deformación, paralelas a x₁, x₂ y x₃ respectivamente. Los dos componentes de strain de cizalle para líneas materiales paralelas a x₁ son e₁₂ y e₁₃:

$$\begin{split} e_{12}\ =\ 0,5\tan\psi_{12}\\ e_{13}\ =\ 0,5\tan\psi_{13} \end{split}$$

En cada caso el primer subíndice indica que el strain de cizalle es para una línea inicialmente paralela a x₁ y el segundo subíndice indica que el strain de cizalle es determinado con respecto a una línea originalmente paralela a x₂ y x₃ respectivamente. Cada ángulo y es la diferencia entre 90⁰ y el ángulo deformado x₁ y x₂, y x₁ y x₃, respectivamente. Las componentes de strain comparables para las líneas materiales inicialmente paralelas a x₂ son e₂₁ y e₂₃; para las líneas materiales originalmente paralelas a x₃ son e₃₁ y e₃₂.

De lo anterior se observa que existe un total de nueve componentes de strain. Los componentes de strain para cada línea material son escritos en filas separadas formando un arreglo ordenado

e_kl  =  $$\left[\vphantom{\begin{matrix} {\bf e_{11}} & e_{12} & e_{13}\\ ... ... & {\bf e_{22}} & e_{23}\\ e_{31} & e_{32} & {\bf e_{33}}\end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} {\bf e_{11}} & e_{12} & e_{13}\\ e_{21} & {\bf e_{22}} & e_{23}\\ e_{31} & e_{32} & {\bf e_{33}}\end{matrix}$$$$\left.\vphantom{\begin{matrix} {\bf e_{11}} & e_{12} & e_{13}\\ ... ... & {\bf e_{22}} & e_{23}\\ e_{31} & e_{32} & {\bf e_{33}}\end{matrix}}\right]$$.

Los componentes de la diagonal principal del arreglo (aquéllos que tienen ambos subíndices iguales) son las extensiones. Los componentes fuera de la diagonal (con subíndices distintos entre sí) son los strains de cizalle.

Este arreglo de los componentes de strain representa el tensor de strain, el cual provee de suficiente información para calcular la extensión y el strain de cizalle para un segmento de cualquier orientación.

El tensor de strain es simétrico con respecto a la diagonal principal, porque para un par de líneas materiales dadas, inicialmente paralelas a x₁ y x₂, por ejemplo, el ángulo de cizalle ($\psi_{{12}}^{}$) de x₁ con respecto a x₂ es igual al ángulo de cizalle ($\psi_{{21}}^{}$) de x₂ con respecto a x₁. Entonces,

$$\begin{split} e_{12}\ =\ e_{21}\\ e_{13}\ =\ e_{31}\\ e_{23}\ =\ e_{32} \end{split}$$

y quedan sólo seis componentes de strain independientes en el strain tridimensional.

Para strain plano,

e₂₁  =  e₂₂  =  e₂₃  =   0

y como

e₁₂  =  e₂₁    y     e₂₃  =  e₃₂

entonces

e₁₂  =  e₃₂  =  0.

Si sacamos del tensor de strain todos los términos que se hacen cero en strain plano, el tensor de strain plano queda con sólo cuatro componentes, tres de los cuales son independientes.

e_kl  =  $$\left[\vphantom{\begin{matrix} e_{11} & e_{13}\\ e_{31} & e_{33} \end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} e_{11} & e_{13}\\ e_{31} & e_{33} \end{matrix}$$$$\left.\vphantom{\begin{matrix} e_{11} & e_{13}\\ e_{31} & e_{33} \end{matrix}}\right]$$.

Por lo tanto, para describir el estado de strain plano, necesitamos sólo la extensión y un strain de cizalle para dos líneas materiales originalmente paralelas a los ejes x₁ y x₃ respectivamente.

Transformación general

Una transformación homogénea de cualquier punto material desde un estado no deformado a un estado deformado es representada matemáticamente por una relación lineal:

$$\begin{split}x_1\ &=\ ax\ +\ by\\ y_1\ &=\ cx\ +\ dy \end{split}$$ (8.1)

(a  >   0 y d  >  0) o

$$\begin{split} &x\ =\ \frac{dx_1\ -\ by_1}{ad\ -\ bc}\\ &y\ =... ...row\ \ {\bf y\ =\ \frac{ay_1\ -\ cx_1}{ad\ -\ bc}}. \end{split}$$

Análogamente se determina x.

Entonces, en la figura se puede ver el rectángulo formado al unir los puntos (0, 0),(x, 0),(x, y) y (0, y) deformado en un paralelógramo (0, 0),(ax, cx),(ax  +  by, cx  +  dy),(by, dy). El significado físico de las constantes a, b, c y d es el siguiente:

• a y d pueden ser consideradas como componentes de strain longitudinal paralelo a los ejes coordenados x e y respectivamente;
• b y c son en parte componentes de cizalle que reflejan desplazamientos de lados originalmente perpendiculares del rectángulo, esto es, b  =  d tan$\alpha$ y c  =  a tan$\beta$.

Sustituyendo los valores de x e y en la ecuación de una recta (y  =  mx  +  k) se encuentra que la línea se convirtió en otra línea recta:

$$\begin{split} y\ &=\ \frac{ay_1\ -\ cx_1}{ad\ -\ bc}\ =\ m\le... ...\ dm}{a\ +\ bm}x_1\ +\ \frac{ad\ -\ bc}{a\ +\ bm}k. \end{split}$$

Con esto se demuestra que este desplazamiento cumple con el criterio de strain homogéneo dado.

El efecto de desplazamiento general (6.6) en puntos que caen en un círculo

$$\begin{split} x^2\ +\ y^2\ &=\ 1\\ \left(\frac{dx_1\ -\ by_1... ...eft(\frac{ay_1\ -\ cx_1}{ad\ -\ bc}\right)^2\ &=\ 1 \end{split}$$

es una transformación en la ecuación

(c²  +  d²)x₁²  -  2(ac  -  bd )x₁y₁  +  (a²  + b²)y₁²  =  (ad  -  bc)².

Esto es una elipse, la elipse de strain. Los ejes mayor y menor de esta elipse representan las posiciones de máximo y mínimo strain longitudinal de largos 1  +  e₁  =  $\sqrt{{\lambda_1}}$ y 1  +  e₂  =  $\sqrt{{\lambda_2}}$.

Figura 8.5: e₁  >  e₂, ejes inclinados con los ejes coordenados.

Stretch progresivo de líneas materiales

Si el círculo unitario se superpone a la elipse de strain finita, el radio en los puntos de intersección define líneas donde no hay extensión finita (e_n  =  0), las cuales son líneas que tienen el mismo largo que tuvieron en el estado no deformado (S_n  =  1). Estas líneas dividen la elipse en sectores en los cuales los radios son mayores a los originales (S_n  >  1, sectores L) y sectores en los cuales los radios son más cortos que los originales (0  <  S_n  <  1, sectores S).

Se examinará también la superposición del círculo unitario con la elipse incremental de strain. La figura muestra un caso general donde los strains incremental y finito principales están en una orientación relativa que puede ocurrir en la naturaleza sólo si los ejes incrementales han cambiado orientación durante la deformación. La intersección del círculo con la elipse incremental define un par de líneas que no tienen cambio de largo. Estas líneas dividen la elipse incremental en sectores en los que las líneas se han alargado (${\frac{{dS_n}}{{dt}}}$  >   0, sectores $\dot{{L}}$) y sectores en los cuales las líneas se han acortado (${\frac{{dS_n}}{{dt}}}$  <   0, sectores $\dot{{S}}$).

Figura 8.6: Elipse incremental de strain.

Los límites de los sectores de la elipse incremental de strain no tienen la misma orientación que en la elipse de strain finito y, dado que las líneas materiales en general rotan durante la deformación, ellas pueden pasar de un sector a otro. Así, la elipse de strain finito puede ser dividida en sectores en cada uno de los cuales las líneas materiales tienen una historia diferente de stretching. Las diferentes historias posibles son ilustradas en la figura, donde el acortamiento de líneas materiales está representado por plegamiento o imbricación y el alargamiento de líneas materiales por budines. En sectores S$\dot{{S}}$ las líneas son más cortas que el largo original y tiene una historia de acortamiento continuo. En los sectores L$\dot{{S}}$ las líneas son más largas que el largo original, indicando una historia inicial de alargamiento, aunque están siendo acortadas. Con deformación continua ellas pueden terminar más cortas que su largo inicial y posicionarse, por lo tanto, en el sector S$\dot{{S}}$. En los sectores L$\dot{{L}}$ las líneas son más largas y tienen una historia de estiramiento continuo. En sectores S$\dot{{L}}$ las líneas son más cortas indicando una historia inicial de acortamiento, aunque están siendo estiradas. Con deformación continua ellas pueden terminar más largas que las originales.

Así, dependiendo de la orientación de líneas materiales con respecto a los ejes de strain, la misma deformación puede producir pliegues, budines, pliegues abudinados o budines plegados o imbricados.

Figura 8.7: Estado de strain durante progresivas etapas de cizalle simple.

Representación de estados de strain y de historias de strain

Representación de strain tridimensional

A menudo es útil comparar varios estados de strain para mostrar, por ejemplo, cómo ellos están relacionados con otros en rocas deformadas heterogéneamente o para ilustrar la secuencia de estados de strain que representa una deformación progresiva particular. Esta comparación se realiza fácilmente con el diagrama de Flinn, en el cual la abcisa y la ordenadas corresponden a los radios a y b definidos como

a  =  $${\frac{{1\ +\ e_1}}{{1\ +\ e_2}}}$$  =  $${\frac{{S_1}}{{S_2}}}$$     I>b  =  $${\frac{{1\ +\ e_2}}{{1\ +\ e_3}}}$$  =  $${\frac{{S_2}}{{S_3}}}$$.

El estudio se strain raramente incluye el strain volumétrico, debido a la dificultad de tener objetos de tamaño original conocido. Sin embargo, la forma original de objetos como fósiles puede ser conocida. Así, se puede determinar los largos relativos de los ejes principales de el elipsoide de strain, pero no sus largos absolutos. Como el diagrama de Flinn grafica las razones de los stretches principales, puede ser utilizado para mostrar la forma del elipsoide de strain, pero no su tamaño.

El origen de los ejes coordenados para el diagrama de Flinn se considera (1, 1) dado que a y b no pueden ser menores que 1 (por definición S₁  > I>S₂  >  S₃). Cualquier elipsoide de strain se plotea en un punto particular del diagrama de Flinn y la pendiente k de la línea desde el origen (1, 1) a ese punto es

k  =  $${\frac{{a\ -\ 1}}{{b\ -\ 1}}}$$  =  $${\frac{{S_1S_3\ -\ S_2S_3}}{{(S_2)^2\ -\ S_2S_3}}}$$.

El valor de k es una manera útil de clasificar los tipos de elipsoides de volumen constante. Tres líneas para k  =  0, k  =  1 y k  =  $\infty$ dividen el gráfico en dos campos, con elipsoides de diferentes características, ploteando en las líneas y dentro de cada campo.

• El campo de strain de aplastamiento comprende la región donde 0  $\leq$  k  <  1.
  • La línea k  =   0 caracteriza elipsoides uniaxiales oblatos (forma de panqueque, S₁  =  S₂  >  1  >  S₃) en una dirección.
  • El rango 0  <  k  <  1 caracteriza elipsoides triaxiales oblatos (S₁  >  S₂  >  S₃).
• La línea k  =  1 caracteriza todos los elipsoides de strain plano (S₁  >  S₂  =  1  >  S₃).
• El campo de strain constriccional incluye los valores 1  <  k  <  $\infty$.
  • El rango 1  <  k  <  $\infty$ describe elipsoides prolatos triaxiales (S₁  >  1  >  S₂  >  S₃).
  • La línea k  =  $\infty$ describe elipsoides uniaxiales prolatos (forma de cigarro, S₁  >  1  >  S₂  =  S₃).

Los valores de stretches dados se aplican sólo a strains de volumen constante.

Figura 8.8: Diagrama de Flinn.

Representación de strain bidimensional

Una manera conveniente de representar gráficamente en estado de strain bidimensional es plotear los dos strains principales, es decir, los dos ejes de la elipse de strain, $\lambda_{1}^{}$ ^v/_s $\lambda_{2}^{}$. Por definición $\lambda_{1}^{}$  >  $\lambda_{2}^{}$ y por lo tanto, todos los estados de strain caen bajo una línea inclinada 45⁰ que pasa por el origen. El estado no deformado, representado por un círculo de diámetro unitario plotea sobre la línea en las coordenadas (1, 1) y el strain finito que resulta de una deformación de cizalle puro plotea en un punto x. Si de plotea los estados de strain intermedios entre a y d, los puntos generan una línea conocida como la trayectoria de la deformación.

El campo de strain puede ser dividido en tres subcampos (1, 2, 3) en base a la relación entre el estado no deformado y el estado deformado.

Figura 8.9: Subcampos del campo de strain.

En el campo 3, la elipse de strain finito cae dentro del círculo no deformado, indicando que ha existido contracción en todas direcciones. Las estructuras que se forman en una capa sujeta a ese campo de strain son pliegues con ejes en varias direcciones.

En el campo 1, el círculo no deformado cae totalmente dentro de la elipse de strain, mostrando que ha existido extensión en todas direcciones. En este campo de strain se formarán budines.

En el campo 2, la superposición de los estados deformado y no deformado muestra que ha ocurrido extensión paralela a una de los strain principales y contracción paralela al otro. Así, una capa sujeta a este campo de strain puede desarrollar ejes de pliegues en una dirección y budines en la dirección a 90⁰ de ésta.

Para que un estado de strain bidimensional esté completamente representado es necesario conocer la rotación w que ha ocurrido.

El strain bidimensional puede ser representado en un gráfico tridimensional con los ejes $\lambda_{1}^{}$ y $\lambda_{2}^{}$ y un tercero, perpendicular al plano $\lambda_{1}^{}$$\lambda_{2}^{}$ a lo largo del cual se plotea la rotación. El plano definido por la trayectoria de la deformación de cizalle puro AX y una línea dibujada desde el estado no deformado paralela al eje de rotación, es el plano donde plotean todos los strains que ocurren sin cambio de área. La trayectoria de la deformación para cizalle simple caerá, por lo tanto, en este plano.

Figura 8.10: Estructuras asociadas a los 3 campos.

Diagrama de Mohr

Cambio en el largo de líneas

Después de un strain finito, la mayoría de las líneas han cambiado su largo en alguna cantidad.

1  +  e   o   $$\sqrt{{\lambda}}$$.

$$\begin{split} &1\ +\ e\ =\ \sqrt{\lambda}\\ &1\ +\ e\ =\ 1\ ... ... =\ 1\\ &\Rightarrow\ \ 1\ +\ e\ =\ 1\ +\ \Delta l \end{split}$$

Si $\theta$ es el ángulo que formaba la línea $\overline{{OP}}$ con el eje x antes de la deformación y $\theta{^\prime}$ el ángulo despu'es de la deformación, entonces

(1  +  e)²  =  $$\lambda$$  =  x₁²  + y₁²

pero como

$$\begin{split} &e_1\ =\ \frac{x_1\ -\ x}{x}\ \Rightarrow\ \ e_... ...y_1\ =\ y(1\ +\ e_2)\ =\ \sin\theta\sqrt{\lambda_2} \end{split}$$

entonces

$$\lambda \lambda_{1}^{} \theta \lambda_{2}^{} \theta$$ (8.2)

Esta ecuación da la elongación cuadrática de líneas con referencia al ángulo que éstas forman con el eje x en el estado no deformado. Para problemas geológicos, sin embargo, donde es el estado final el que se estudia, es mejor utilizar el largo en términos del ángulo $\theta$:

$$\begin{split} \cos\theta\ &=\ x\ =\ \frac{x_1}{\sqrt{\lambda_... ...rac{\sqrt{\lambda}\sin\theta'}{\sqrt{\lambda_2}}\\ \end{split}$$

y

$$\left(\vphantom{ \begin{split} \cos\theta'\ &=\ \frac{x_1}{1\ +\ ... ...bda}}\ \ \Rightarrow\ \ y_1\ =\ \sqrt{\lambda}\sin\theta'. \end{split}}\right.$$$$\begin{split} \cos\theta'\ &=\ \frac{x_1}{1\ +\ e}\ =\ \frac... ... \Rightarrow\ \ y_1\ =\ \sqrt{\lambda}\sin\theta'. \end{split}$$$$\left.\vphantom{ \begin{split} \cos\theta'\ &=\ \frac{x_1}{1\ +\ ... ...bda}}\ \ \Rightarrow\ \ y_1\ =\ \sqrt{\lambda}\sin\theta'. \end{split}}\right)$$

Si reemplazamos estos valores en

$$\begin{split} \cos^2\theta\ +\ \sin^2\theta\ &=\ 1\\ \frac{\... ...\ +\ \frac{\lambda \sin^2\theta'}{\lambda_2}\ &=\ 1 \end{split}$$

reemplazando además ${\frac{{1}}{{\lambda_1}}}$ por $\lambda_{1}{^\prime}$ y ${\frac{{1}}{{\lambda_2}}}$ por $\lambda_{2}{^\prime}$, donde $\lambda_{1}{^\prime}$ y $\lambda_{2}{^\prime}$ son las extensiones cuadráticas recíprocas, se obtiene una ecuación sencilla para los largos de líneas con referencia al ángulo que forman con el eje x en el estado deformado:

$$\lambda{^\prime} \lambda_{1}{^\prime} \theta{^\prime} \lambda_{2}{^\prime} \theta{^\prime} {\frac{{1}}{{\lambda}}}$$ (8.3)

Cambios en los ángulos

Después de cualquier deformación cambia el ángulo que forma cualquier línea con el eje x:

tan$$\theta{^\prime}$$  =  $${\frac{{y_1}}{{x_1}}}$$  =  $${\frac{{y\sqrt{\lambda_2}}}{{x\sqrt{\lambda_1}}}}$$ =  tan$$\theta$$$$\sqrt{{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}}$$.

Esta deformación da el ángulo después de la deformación ($\theta{^\prime}$) si se conoce el ángulo antes de la deformación y la forma de la elipse de strain y es dependiente sólo de la forma de la elipse (razones de los largos de los ejes principales). Es independiente de los largos absolutos de $\lambda_{1}^{}$ y $\lambda_{2}^{}$ y por lo tanto, es independiente del cambio de área.

Strain de cizalle

En este punto se determinará el valor del strain de cizalle ($\gamma$) en cualquier punto de la elipse de strain. Si el punto P(x, y) en el círculo x²  +  y²  =  1 es desplazado a P₁(x₁, y₁) en la elipse de strain de ecuación ${\frac{{x_1^2}}{{\lambda_1}}}$  +  ${\frac{{y_1^2}}{{\lambda_2}}}$ =  1, la ecuación de la tangente a la elipse en ese punto es

$${\frac{{x_1x}}{{\lambda_1}}}$$  +  $${\frac{{y_1y}}{{\lambda_2}}}$$  =  1

o si reemplazamos los valores de x₁  =  cos$\theta$$\sqrt{{\lambda_1}}$ e y₁  =  sin$\theta$$\sqrt{{\lambda_2}}$, entonces

$${\frac{{x\cos\theta\sqrt{\lambda_1}}}{{\lambda_1}}}$$  +  $${\frac{{y\sin\theta\sqrt{\lambda_2}}}{{\lambda_2}}}$$ =  1,

pero

$${\frac{{\sqrt{\lambda}}}{{\lambda}}}$$  =  $${\frac{{1}}{{\sqrt{\lambda}}}}$$,

por lo tanto,

$${\frac{{x\cos\theta}}{{\sqrt{\lambda_1}}}}$$  +  $${\frac{{y\sin\theta}}{{\sqrt{\lambda_2}}}}$$  =  1.

Nota: la ecuación de la recta tangente a la elipse en un punto se determina derivando la ecuación de la elipse ${\frac{{x^2}}{{a^2}}}$ +  ${\frac{{y^2}}{{b^2}}}$  =  1.

El largo de una recta que pasa por el origen y que es perpendicular a una recta de ecuación ax  +  by  =  c es ${\frac{{c}}{{\sqrt{(a^2\ +\ b^2)}}}}$.

$$\begin{split} \text{largo}\ &=\ \frac{c}{\sqrt{(a^2\ +\ b^2)}... ...}{\lambda_1}\ +\ \frac{\sin^2\theta}{\lambda_2}}}. \end{split}$$

Por lo tanto, el largo de la perpendicular p del origen a la recta tangente a la elipse es

p  =  $$\sqrt{{\frac{1}{\frac{\cos^2\theta}{\lambda_1}\ +\ \frac{\sin^2\theta}{\lambda_2}}}}$$.

En el triángulo $\Delta$POQ

$$\begin{split} \cos\psi\ &=\ \frac{p}{\sqrt{\lambda}}\\ \Right... ...in^2\theta}{\lambda_2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}. \end{split}$$

De la definición de strain de cizalle, $\gamma$  =  tan$\psi$, entonces

$$\gamma^{2}_{}$$  =  tan²$$\psi$$  =  sec²$$\psi$$  -  1  =  $$\lambda$$$$\left(\vphantom{ \frac{\cos^2\theta}{\lambda_1}\ +\ \frac{\sin^2\theta}{\lambda_2}}\right.$$$${\frac{{\cos^2\theta}}{{\lambda_1}}}$$  +  $${\frac{{\sin^2\theta}}{{\lambda_2}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\cos^2\theta}{\lambda_1}\ +\ \frac{\sin^2\theta}{\lambda_2}}\right)$$  -  1.

Sustituyendo por $\lambda$  =  $\lambda_{1}^{}$cos²$\theta$  +  $\lambda_{2}^{}$sin²$\theta$ y simplificando, usando la identidad sin²$\theta$  +  cos²$\theta$  =  1

$$\gamma {\frac{{\lambda_1\ -\ \lambda_2}}{{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}}} \theta \theta$$ (8.4)

Esta ecuación está en términos del ángulo en el estado no deformado. Con respecto al ángulo en el estado deformado, sustituyendo:

sin$$\theta$$  =  $${\frac{{\sqrt{\lambda}}}{{\sqrt{\lambda_2}}}}$$sin$$\theta{^\prime}$$   ;   cos$$\theta$$  =  $${\frac{{\sqrt{\lambda}}}{{\sqrt{\lambda_1}}}}$$cos$$\theta{^\prime}$$

entonces

$$\begin{split} &\gamma\ =\ \left(\frac{\lambda_1\ -\ \lambda_2... ...frac{1}{\lambda_1}\right) \sin\theta'\cos\theta'\\ \end{split}$$

$$\gamma{^\prime} {\frac{{\gamma}}{{\lambda}}} \lambda_{2}{^\prime} \lambda_{1}{^\prime} {\frac{{\sin2\theta'}}{{2}}}$$ (8.5)

Valor máximo para el strain de cizalle finito

En un cuerpo deformado hay siempre dos direcciones, dispuestas simétricamente con respecto a las extensiones principales, donde el strain de cizalle tiene los valores máximos y mínimos. Esta dirección se obtiene derivando e igualando a cero.

$$\begin{split} \frac{d\gamma}{d\theta}\ &=\ \frac{\left(\frac{... ...2}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}\right)\cos2\theta.\\ \end{split}$$

Imponemos

$${\frac{{d\gamma}}{{d\theta}}}$$  =  0.

Esta condición se cumple cuando ${\frac{{(\lambda_1\ -\ \lambda_2)}}{{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}}}$  =   0 o cuando cos 2$\theta$  =   0. La primera condición se refiere sólo a tipos especiales de strain, por ejemplo $\lambda_{1}^{}$  =  $\lambda_{2}^{}$ (dilatación uniforme, en que $\gamma$  =   0 para todos los valores de $\theta$, excepto 0). La segunda representa la condición general de strain. En general, la posición de las líneas de máximo strain viene dada por:

tan$$\theta{^\prime}$$  =  tan$$\theta$$$$\sqrt{{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}}$$  $$\Rightarrow$$    $$\theta{^\prime}$$  =  tan^-1$$\sqrt{{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}}$$.

Círculo de Mohr

Como se dijo anteriormente (cuando se vio stress), el círculo de Mohr es un método gráfico muy conveniente para solucionar y representar las variaciones de los valores de los tensores de stress y strain. Para construir el círculo dejamos las ecuaciones recién vistas en función de ángulos dobles.

$$\begin{split} \lambda\ &=\ \left(\frac{\lambda_1\ +\ \lambda_... ...{\lambda_2'\ -\ \lambda_1'}{2}\right)\sin2\theta'. \end{split}$$

Demostración

:

1. $$\begin{split} \lambda\ &=\ \lambda_1\cos^2\theta\ +\ \lambda_... ... +\ \frac{\lambda_1\ -\ \lambda_2}{2}(\cos2\theta). \end{split}$$

2. $$\begin{split} \gamma\ &=\ \frac{\lambda_1\ -\ \lambda_2}{\sq... ...2)}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}\frac{sin2\theta}{2}. \end{split}$$

3. $$\begin{split} \lambda'\ &=\ \lambda_1'\cos^2\theta'\ +\ \lam... ...\ \frac{\lambda_1'\ -\ \lambda_2'}{2}\cos2\theta'. \end{split}$$

4. $$\begin{split} \gamma'\ &=\ (\lambda_2'\ -\ \lambda_1')\sin\th... ...=\ \frac{\lambda_2'\ -\ \lambda_1'}{2}\sin2\theta'. \end{split}$$

La ecuación de cualquier circunferencia de centro (c, 0) y radio r puede ser escrita

$$\begin{split} x\ &=\ c\ -\ r\cos\alpha\\ y\ &=\ r\sin\alpha. \end{split}$$

Si se comparan estas últimas ecuaciones con las ecuaciones de strain se puede ver que tienen la misma estructura y la siguiente correspondencia:

$$\begin{split} x\ &=\ \lambda'\\ y\ &=\ \gamma'\\ c\ &=\ \fr... ...mbda_2'\ -\ \lambda_1'}{2}\\ \alpha\ &=\ 2\theta.' \end{split}$$

Lo anterior implica que los únicos pares posibles de valores $\lambda{^\prime}$ y $\gamma{^\prime}$ en un estado de strain homogéneo siempre caen en una circunferencia, representada por el círculo de Mohr. El círculo intersecta el eje $\lambda{^\prime}$ en valores de $\lambda_{1}{^\prime}$ y $\lambda_{2}{^\prime}$ correspondientes a los valores de extensión máximos y mínimos del sistema. En este sistema los valores de $\lambda{^\prime}$ y $\gamma{^\prime}$ para el punto x son imposibles. El círculo de Mohr siempre se ubica a la derecha del eje $\gamma{^\prime}$, porque la extensión cuadrática recíproca es siempre un número real, positivo (${\frac{{1}}{{(1\ +\ e_n)^2}}}$). El ángulo 2$\theta{^\prime}$ es siempre medido desde una línea que une $\lambda_{1}{^\prime}$ con el centro. Valores positivos (medidos antihorario de la dirección $\lambda_{1}{^\prime}$) en el diagrama son medidos en sentido horario, los ángulos negativos son medidos desde $\lambda{^\prime}$ en sentido antihorario.

El strain de cizalle angular $\psi$ para cualquier orientación $\phi{^\prime}$ puede ser encontrado uniendo el punto con coordenadas ($\lambda{^\prime}$,$\gamma{^\prime}$) de la circunferencia con el origen(0, 0). Dado que $\gamma{^\prime}$  =  ${\frac{{\gamma}}{{\lambda}}}$, entonces

$$\psi$$  =  tan^-1$$\gamma$$  =  $${\frac{{\gamma'}}{{\lambda'}}}$$

y el ángulo PO$\lambda{^\prime}$ es el ángulo para la dirección $\theta{^\prime}$ (2$\theta{^\prime}$ en el diagrama de Mohr).