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Introducción
(Horario: Lunes y Viernes
a las 14:30,)
Los sistemas compuestos por muchos constituyentes
fuera del equilibrio termodinámico--materia fuera del
equilibrio--exhiben una gran variedad de comportamientos colectivos
espaciales y temporales. Uno de los objetivos de la Física
No-lineal es la caracterización de estos comportamientos
colectivos de manera unificada con el modelo mas minimal posible.
El gran éxito de esta area de la Física
contemporanea en las dos últimas décadas no sólo
en las ciencias naturales como la Física, Geofísica,
Química y la Biología, sino también en las
ciencias humanas tales como la Sociología y la Economía,
se debe a que su objetivo principal es el estudio de fenómenos
robustos,
es decir, fenómenos independientes de la Física subyacente, como por
ejémplo, comportamientos caóticos, oscilatorios o cuasi-periodicos,
bifurcaciones, inestabilidades y formación de patrones. Entonces estos
fenómenos son universales, como lo ilustra la formación de patrones
regulares en medios disipativos tales como aquellos observados en
sistemas químicos, descarga de gases, laseres, plasmas, cristales
líquidos, medios granulares, crecimientos de cristales, sistemas
magneticos, hidrodinámica, electroconvección, pigmentación de los
animales e insectos.
El estudio de fenómenos robustos se basa
esencialmente en la comprensión y caracterización
de las ecuaciones diferenciales ordinarias y a derivadas parciales,
lo que no significa resolverlas analiticamente, sino tener una comprensión
de los comportamientos que las ecuaciones diferenciales contienen
(Teoría de Catástrofes). Esta comprensión
permite entender y modelar fenómenos descritos por ecuaciones
diferenciales.
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Objetivos Principales
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El objetivo principal de este curso es responder
a las tres siguientes preguntas :
- Que es una dinámica no-lineal?, y que hace la diferencia
con una lineal.
- Desde un punto de vista de la Física, por qué
se debe estudiar los sistemas no-lineales y dejar de lado el
confortable mundo de las ecuaciones lineales?
- Que tipo de comportamientos robustos encontramos en los sistemas
dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales y cómo
podemos describir estos de manera universal?
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Programa tentativo
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- Dinámica de sistemas Unidimensionales
- Sistemas unidimensionales (sistemas mecánicos
sobre amortiguados, evolución de especies bilógicas, cavidades nolineales).
- Estudio geométrico de los sistemas unidimensionales:
Puntos de equilibrio (atractores, repelores, puntos sillas), tinas de
atracción, estabilidad lineal y no-lineal.
- Analisis de crecimiento logístico (modelo bilógica
de especies).
- Propiedades de sistemas unidimencionales, potencial
de Lyapunov y imposibilidad de oscilaciones.
- Bifurcación Saddle-node (péndulo sobre
amortiguado con disipación).
- Bifurcación Transcritica (modelo simplificado
del Laser).
- Bifurcación Pitchfork (inestabilidad del Euler
(elastica),sistemas mecánicos simples)
- Bifurcación Pitchfork subcritica (punto de transicion,
bistabilidad y Maxwell)
- Bifurcación imperfecta y catástrofe
- Variable periodica (flujo sobre un circulo)
- Osciladores no-lineales
- Hamiltonianos (Suaves: péndulo plano. Duro: placas
metálicas empotradas).
- Con disipación e inyección de energía
(péndulo físico, esférico).
- Van der Pol y de Duffing (cicuitos eléctricos,
péndulos giratorios inclinados).
- Metodo de ecuaciones de amplitud (metodo de Krylov-Bogolyubov) y multiescalas.
- Forzados (resonancias lineales y no-lineales).
- Forzados parametricamente (Inestabilidad de Faraday).
- Efecto Kapitza
- Sincronización (péndulos de Huygens)
- Herramientas de sistemas dinámicos (sistemas
no extendidos)
- Puntos de Equilibrio y cracterizacion de bifurcaciones entre ellos (estables, inestables y metasestables).
- teoria de indices.
- Secciones de Poincaré.
- Bifurcaciones (globales y locales).
- Variedad central.
- Formas normales.
- Caos
- Caracterización cualitativa de comportamientos
robustos (Equilibrios estacionarios, soluciones periodicas,
cuasi-periódicas y caóticas).
- Péndulo de Lorenz.
- Caos en ecuaciones diferenciales y en aplicaciones (mapping).
- Variedad central.
- Rutas o escenarios del Caos: Doblamiento de período,
intermitencia, casi-periocidad y crisis.
- Comportamientos genéricos de las ecuaciones a
derivadas ordinarias (Sistemas extendidos espacialmente
en una dimensión).
- Soluciones homogeneas.
- Interfaces entre soluciones homogeneas (Dinámica
de frentes, biestabilidad, punto de Maxwell).
- Soluciones tipo partícula: Solitones, frentes,
ondas de choque, estructuras localizadas.
- Frentes normales (transiciones de primer orden).
- Frente-Kolmogorov (dinámica de población
de especies).
- Paredes o frentes entres estados simétricos (Interfaces
en sistemas magneticos).
- Ondas de choque (medios granulares).
- Solitones (KDV, Joshepson junctions).
- Estructuras espaciales disipativas (Pattern formation,
convección de Raylegh-Benard, electroconvección,
reacciones difusión y de catálisis, sistemas
de descarga électricas, cristales líquidos,
sección transversal de laseres, medios granulares
fuera del equilibrio)
- Formas normales para estructuras espaciales disipativas
(modelos de Liftchitz y Ginzurg-Landau).
- Estructuras localizadas (reaccion difusión, optical
bullet, oscilones, conjunto de osciladores acoplados).
- Caos espacio-temporal (propagación de flamas,Modelo
Kuramoto-Sivashisky)
- Interacción de ondas y Turbulencia débil.
- Sistemas extendidos espacialmente en dos dimensiones:
- Dinámica de frentes.
- effecto Gibbs-Thomson.
- Soluciones tipo partícula: Solitones, frentes,
ondas de choque, estructuras localizadas.
- Estructuras espaciales disipativas (Pattern formation,
convección de Raylegh-Benard, electroconvección,
reacciones difusión y de catálisis, sistemas
de descarga électricas, cristales líquidos,
sección transversal de laseres, medios granulares
fuera del equilibrio)
- Hexágonos, rollos y cuadrados
- Formas normales para estructuras espaciales disipativas
(modelos de Liftchitz y Ginzurg-Landau).
- Estructuras localizadas (reaccion difusión, optical
bullet, oscilones, conjunto de osciladores acoplados).
- Caos espacio-temporal
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- H. D. Abarbanel, M.I. Rabinovich and M.M. Sushchik,
Introduction to Nonlinear Dynamics for physicists
(World Scientific Publishing, Singapore,1993).
- A. Newell and J. Moloney, Non-linear
Optics, Addison-Wesley, Redwood, CA 1992.
- J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear
oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.(Springer-Verlarg,
New York, 1983).
- M. Cross and P. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. {\bf 65}, 851 (1993).
- V. Arnold, Chapitres supplémentaires
de la théorie des équations différentielles
ordinaires (MIR, Moscou, 1984).
- J.D. Murray, Methematical Biology, I
An Introduction, (Springer-Verlarg, New York, 2002).
- P.G. Drazin, Nonlinear Systems,
(Cambridge Texts in Applied Mathematics, 1992).
- E. Ott, Chaos in Dynamycal System (Cambridge
University Press,New York,1993).
- L.
Pismen, Patterns and interfaces in
dissipative dynamics. Springer Series in Synergetics,
Berlin Heidelberg.
- N.G.
van Kampen, Stochastic Processes in
Physics and Chemistry (North Holland, 2007).
- Steven
H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and
Chaos, (Perseus Books, 1994)
- P. Glansdorff, I. Prigogine, Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations (NY Interscience, New York, 1971).
- M. Cross and H. Greenside, Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems (Cambridge University Press, New York, 2009).
- Jackson, E. A. (1992). Perspectives of nonlinear dynamics (Vol. 1and 2).
- N.N. Bogolyubov, Yu.A. Mitropol'skii, "Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations" , Gordon & Breach , Delhi (1961) (Translated from Russian).
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. Software Interactivos de ODE
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Applets
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Requisitos: Mecánica |
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Evaluación: tareas semanales.
El examen consistirá en un seminario sobre el análisis
de un artículo |
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Temas de presentacion
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- Dinamica compleja del corazon: (MARICARMEN CASTRO).
- Dinamica de vortices en cristales liquidos: (VALEZKA ZAMBRA)
- Cuasi periocidad: Soluciones periódicas caracterizadas
por dos frecuencias genericamente anteceden un comportamiento
caotico (propocisión de Ruelle-Takens )
- Gluing: la colición de dos ciclos límites
es acompañada por una cascada de bifurcaciones homoclinas
que terminan con un comportamiento caotico.
- Shilnikov: Las soluciones homclinas en tres dimensiones
cuando explotan generan comportamientos caoticos. Shilnikov encontro
el único criterio analítico conocido que predice
el caos.
- Experimentos clásicos de comportamientos caoticos:
sistemas hidordinámicos, la gotera, Rayleigh-Benard forzado,
etc.
- Entropía dinámicas: dada la propiedad de
la sensibilidad a las condiciones iniciales, las orbitas caoticas
generan información las cuales uno puede caracterizar estadisticamente (ENRIQUE CALISTO).
- Exponente de Lyapunov y aplicacion al caos: Caracterizacion
a partir de las trayectorias de la sensibilidad a las condiciones
iniciales.
- Metodo de reconstrucion de un atractor basado en series
tesmporales.
- FitzHugh-Nagumo: model (Bibliografia Libre, ESTEBAN AGUILERA)
- Hodgkin-Huxley model: modelo neurona, (Bibliografia Libre, FERNANDA PEREZ)
- Doblamiento de Periodo: la aparición del caos
es anticipada por una cascada de doblamientos de periódos
sucesivos de una solución periódica (FRANCISCO LOYOLA).
- Intermitencia: el caos aparece por la perdidad de estabilidad
de una solución periódica (u otra), la cual origina
un comportamiento regular acompañado por comportamientos
irregulares esporádicos.
- Ecuación de Duffing: estudio completo del oscilanor
no lineal forzado armonicamente, es decir, explicar cualitativamente
la dinámica del sistema (DAVID PINTO).
- Automata celular: son sistemas dinamicos discretos cuyos elementos
tienen una interaccion constante entre si tanto en el espacio
como en el tiempo (PABLO MARDONEZ, titulo de charla"Modelo de especiacion en pitufos usando automatas celulares").
- Sincronizacion: Reconocidos por primera vez en 1665 por
Christiaan Huygens, los fenomenos de sincronizacion son abundantes
en nuestra vida cotidiana. Sistema tan diversos como los relojes,
los grillos que cantan, los marcapasos, y las neuronas, exhiben
una tendencia a funcionar en forma sincronica (MANUEL MORALEZ).
- Belousov-Zhabotinsky reaction: un oscilador nolineal
quimico.
- Horseshoes y Teorema KAM: El Caos en los sitesmas Hamitonianos
es caracterizado por estructuras geometricas complejas, desarrolladas
en torno de las homoclinas y heteroclinas, las cuales gobierna
la dinamica caotica de estos sistemas conservativos. Los sistemas
integrables son estructuras fragiles y las soluciones periodicas
son robustas.
- Mapa de Henon: Este es uno mapa con dos variables paradigmaticos
que exhibe auto similitiud
- Modelo del Panadero: Este es una mapa muy simple que
exhibe comportamientos auto-similares y permitio entender la importancia
de la iperbolicidad (FABIAN ALVAREZ).
- Control sobre el Caos: como por medio del control dinamico
uno puede hacer que un atractor extrano se transforme en un ciclo
limite.
- Fractales: estrucuras geometricas de dimension no entera.
- Modelo Rossler: no de los Modelo mas simple que exhibe
comportamientos caoticos.
- Conjunto de Julia y Mandelbrot: Es una de los ejemplos
fractals mas sorpredentes.
- Metodo de Melmikov: Metodo para caracterizar la distancia
entre variedades invarientes usado para la aparicion de homoclinas
y caos.
- Solitones Propagativos: DIEGO GARCIA
- Solitones Propagativos No-Variacionales: ALEJANDRO ALVAREZ
- Percolacion Dirigida
- Auto resonancia parametrica
- Caos espacio Temporal
- ExponenteS de lyapunov y entropías
- Universo fractal: JAIME CLARK
- Fractal: GLADYS JARA
- Caos espacio temporal: GREGORIO GONZALEZ.
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