IQ57A: Dinámica y Control de Procesos
Control de Sistemas Complejos: Grandes Retardos
Leandro Herrera, Ph.D.

Si el bucle cerrado (o sistema controlado) va más allá de tanques de nivel, tanques calefaccionados, intercambiadores de calor u otras unidades aisladas de proceso y se requiere incorporar operaciones más complejas (por ejemplo, operaciones de transferencia de masa), los retardos se hacen tan grandes que impiden la correcta operación de los controladores P, PI y PID. Los problemas característicos son: Estos efectos, sea todos juntos o sólo alguno de ellos, suelen impedir la acción apropiada de los bucles de control porque: Y redunda, finalmente, en un bucle cerrado que puede resultar inestable.

Por ejemplo: Considere un sistema cuyo comportamiento corresponda a un primer orden con retardo, en que la función de transferencia sea:

donde q es el tiempo muerto en las unidades de tiempo que correspondan (para enfatizar su naturaleza se utiliza, a menudo, td en lugar de q ).

Si se considera un pequeño retardo, digamos 0,01 minutos, entonces la frecuencia crítica será w C=160 rad/min, frecuencia a la cual la ganancia última será 80,01.

Si el retardo aumenta un orden de magnitud, es decir a 0,1 minutos, entonces la frecuencia crítica será 17 rad/min con una ganancia última de 8,56. Es decir:
 

Un incremento en tiempos de retardo (también conocido como tiempos muertos) introduce un mayor ángulo de desfase, que reduce la frecuencia crítica (cross-over) y reduce, por ende, la máxima ganancia que se pueda utilizar

Suponiendo un aumento aún mayor, de otro orden de magnitud, en el retardo, a 1,0 minutos genera un sistema cuya frecuencia crítica llega a ser 2,3 rad/min y la máxima ganancia será de 1,52. Es decir, se ratifica la misma tendencia anterior.

COMPENSACION DE TIEMPOS MUERTOS

Una modificación a la metodología de bucles realimentados, consistente en "compensar" los retardos fue propuesta por Smith. Este método de control se conoce como predictor de Smith o compensador de tiempos muertos.

Suponiendo que todos los retardos son debidos al proceso y que su magnitud es conocida, la función de transferencia del proceso puede ser escrita como un primer orden puro y su retardo:

y con sensor y actuador ideales, la respuesta de bucle abierto a una excitación escalón de la referencia será:

es decir, la respuesta se ve ahora retardada en, precisamente, el retardo originalmente considerado.

Para eliminar los efectos del retardo, se requeriría información presente y no la retardada, en una expresión sin retardo, como sería:

que se podría obtener si a la respuesta y(s) (en realidad, a la respuesta medida, yM(s), pero que la hemos supuesto ideal) se le pudiese agregar la expresión:

ya que en ese caso se tendría:

que es la solución al problema del retardo.

Es, quizás, más simple visualizar el efecto mediante los diagramas de bloques y aplicando álgebra de bloques; en primer lugar, el proceso y su retardo (nota: he usado "td" en lugar de q ) tiene el diagrama de bloques:

Luego, Smith propone agregar una compensación del tiempo muerto, antes que la señal medida (que hemos supuesto ideal) llegue al controlador, conformando un mecanismo controlador más complejo:

Este diagrama de bloques, que refleja efectivamente "cómo" se conformará el nuevo tipo de controlador, resulta equivalente (por álgebra de bloques) al sistema de control feedback:

que corresponde a un logro importante: se ha conformado un controlador feedback de la aquella parte de la función de transferencia del proceso que no presenta retardo, de modo que el retardo tiene un efecto posterior a la acción de control y, por ende, no entorpece la calidad del control.

Es decir:
 

la compensación de tiempos muertos, también conocido como predictor de Smith, saca el tiempo muerto afuera del bucle de control.

Una de las dificultades típicas del control de procesos, sobre todo si hay transportes en el proceso, es, sin duda, el tiempo muerto; pero también existe la dificultad asociada a los modelos incompletos o simplificados en exceso o, simplemente, desconocidos (empíricos).

En este caso, tanto la función de transferencia "G(s)" como el tiempo muerto "td" o "q " son sólo estimaciones, lo más correctas posibles pero notablemente imperfectas cuando se trata de respuestas dinámicas. Si es este el caso, entonces el elemento de compensación:

no será adecuado porque no conocemos exactamente G(s) (es decir, no tenemos valores perfectos para sus parámetros) ni el tiempo muerto.

EJEMPLO (en verde para distinguir):

Dado un proceso consistente de un primer orden pero con un tiempo muerto grande (es decir del orden del propio tiempo de respuesta o mayor; q ³ t P), como:

es posible identificar, obviamente, que

Si se utiliza un bucle de control feedback tradicional, la función transferencia de bucle abierto presentará una frecuencia de corte wCO=2,3 radianes por minuto y una ganancia última del controlador P de KP=1,52. Así, la ganancia del controlador P deberá ser KC<1,52. El offset, por lo tanto será:

y, para peor de males, el sistema estará al borde de la inestabilidad.

Un cambio escalón unitario de la referencia llevará al sistema, más bien lentamente, a un valor final de sólo 0,6 (en vez de 1).

La introducción de compensación de tiempo muerto, según la ecuación ya expuesta:

generará una función de transferencia de bucle abierto:

que no tiene frecuencia de corte (es un primer orden, ahora sin retardo); se podría, por lo tanto, usar una ganancia del controlador P, KC, arbitrariamente grande sin que el sistema sea inestable. Por ejemplo, si se elige KC=50, la respuesta será más rápida y el offset será 0,0196!

PERO... si el tiempo muerto no fuese perfectamente conocido, entonces tampoco lo será G(s) y, por ende, la compensación del tiempo muerto será lo suficientemente imperfecta como para que el diseñador no pueda usar, a priori, ganancias altas.

Si se hubiese estimado el tiempo muerto en 0,8 (en lugar del valor "verdadero" de 1,0), entonces existe un tiempo muerto de 0,2 que no se compensaría con el método anterior de modo que existirá una frecuencia de corte (de hecho, en 9 rad/min) que impedirá que la ganancia sea mayor 4,6.

Naturalmente, por álgebra de bloques nuevamente, es posible considerar que la función de compensación conforme, en realidad, un modelo del proceso, ya que requiere del conocimiento de la función de transferencia y del tiempo muerto. A partir de esta observación, después de Smith ha existido una gama amplia de controladores "de modelo interno".

La sintonización de parámetros por modelo interno ("IMC") utiliza una identificación empírica de la constante de tiempo del bucle cerrado, tC, que será el mayor valor entre 0,1 tP y 0,8 q. Luego, se pueden utilizar, para un controlador PI (solamente) los valores recomendados por Control Station.