Para desarrollar el modelo se deben desarrollar ecuaciones para:

• "M_i" la masa total
• y "M_i·x_i" la masa de A

• el plato "1" (salida de descartes y rehervidor);
• el plato "N" (salida de producto y reflujo);
• y el plato de alimentación "f";

Para cualquier plato "i" no singular (o común):

Para el plato "i = 1", fondo de la columna (salida de líquido y rehervidor):

Para el plato "i = f", de alimentación:

Para el plato "i = N", extremo superior de la columna (i.e. extracción de vapor):

Además, es necesario obtener ecuaciones modelo del rehervidor y del reflujo:

Rehervidor (base de la columna):

Mientras que para el tambor de reflujo:

Las ecuaciones dinámicas del modelo (recuerde, además, que está bastante simplificado por las hipótesis adoptadas) conforman el conjunto de ecuaciones de estado de la operación de destilación binaria (es decir, el más simple de los casos). Las variables de estado en este caso son:

• Los holdup de líquido, definidos como M₁, M₂, ..., M_f, ..., M_N, M_B y M_RD
• Las concentraciones en fase líquida: x₁, x₂, ..., x_f, ..., x_N, x_D y x_B

y N relaciones hidráulicas (fórmula de Francis para vertederos):

En síntesis, para resolver la dinámica de las líneas de salida (destilado y fondo) de una columna de destilación binaria será necesario resolver un sistema que contiene:

• 2 N + 4 ecuaciones de estado (diferenciales no lineales) y
• 2 N + 1 ecuaciones de equilibrio e hidráulicas (algebraicas)

Ejemplo de las dificultades de modelamiento debidas al tamaño y a la complejidad del modelo matemático de un proceso: Destilación Binaria.

Considere una columna de destilación típica de unos 15 platos, un rehervidor y un tanque de condensado. El problema considerado será la separación de una mezcla de sólo dos compuestos.

Entonces, el problema matemático requeriría la solución de:

• 2N+4=34 ecuaciones diferenciales no lineales y
• 2N+1=31 ecuaciones algebraicas

Más aún, no es demasiado común que se requiera separar mezcla de sólo dos compuestos.

Modelo entrada/salida de una columna de destilación binaria

Para controlar una operación, en el enfoque clásico de control de sistemas, es necesario construir modelos lineales que expresan la respuesta (salida) en función de la exitación (entrada).

Parte del problema de control, además, se relaciona con la solubilidad analítica que tenga el sistema matemático del modelo; en particular, el control de un proceso se puede conseguir sólo si se especifican todos sus grados de libertad. De allí que resulta imprescindible conocer el número de grados de libertad de un sistema antes de comprometer su eficaz control.

En un sistema matemático, el número de grados de libertad queda especificado por el número de variables a los que se deben asignar valores para obtener una única solución; concretamente,

Entonces, será útil contar cuántas ecuaciones y cuántas variables existen en el modelo matemático de la columna de destilación binaria:
 

Número de Ecuaciones
N+1	Relaciones de equilibrio
N	Relaciones hidráulicas
2	Balances en la placa de alimentación (f)
2	Balances en la placa superior (N)
2	Balances en la placa de fondo (1)
2(N-3)	Balances de las otras placas
2	Balances en tanque de condensado
2	Balances en el rehervidor
4N+5	Total

En cuanto a las variables:
 

Número de Variables
N+2	Composiciones líquidas (xi)
N+1	Composiciones de vapor (yi)
N+2	Holdup de líquido (Mi)
N	Flujos de líquido (Li)
6	Otras: Ff, cf, FD, FB, FR y V
4N+11	Total

De este cómputo se puede deducir que existen

es decir, se deben especificar seis variables antes de poder resolver el sistema.

Naturalmente, en forma alternativa se podrían agregar "relaciones" entre variables, como por ejemplo las ecuaciones de algunos controladores de bucles cerrados.

Así, los 6 grados de libertad se podrían clasificar según:

Perturbaciones del

• F_f(caudal de carga) y de
• c_f (composición de entrada)

Objetivos de control: los cuatro grados de libertad aún disponibles podrían conformar 4 objetivos de control (y, por ende, se agregarán 4 ecuaciones). Se podría postular que 4 variables se mantengan en su valor de referencia:

• x_D (composición del destilado);
• x_B (composición del descarte de fondo);
• M_RD (holdup de líquido en el tanque de condensado); y
• M_B (holdup de líquido en el fondo de la columna.

Notará el atento lector que estos cuatro objetivos de control son razonables porque fijan la calidad del producto (el primer objetivo); la calidad del descarte (segundo objetivo); el nivel de líquido en el tanque de condensado (no queremos que se rebalse ni que se seque y, similarmente, el nivel de líquido del fondo de la columna (es decir, los dos últimos objetivos son principalmente operativos).

Nada impediría dejar como perturbación la composición del descarte de fondo y controlar el caudal de entrada... pero no se podrían controlar, por ejemplo, seis objetivos de control.

De acuerdo al mecanismo anterior (controlar las cuatro variables listadas y clasificar la entrada como perturbaciones), el diagrama P&ID tendría ahora la forma:

(en desarrollo aún... Sept/2000)