Parte I: Sistemas dinámicos disipativos y optimización.

     Capítulo 1.-Asymptotic analysis of evolution equations associated with Newton's method for parametric approximations of convex minimization problems, Journal on Applied Mathematics and Optimization 38 (1998), pp. 193-217 (coautor: J.M. Pérez, U. de Chile).

     Capítulo 2.-On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert spaces, por aparecer en SIAM Journal on Control and Optimization (en prensa).
 

Parte II: Aproximación paramétrica de problemas variacionales.

     Capítulo 3.-Absolute minimizer in convex programming by exponential penalty, por aparecer en Journal of Convex Analysis.

     Capítulo 4.-Local solutions for a class of L problems by L^P approximation: variational, differential and geometric properties (en colaboración con G. Bellettini, U. de Pisa).

     Capítulo 5.- Homogenization of functionals with parametric integrands, enviado para publicación (coautor: J.-Ph. Mandallena, U. de Montpellier).
 

     A continuación se expone el contenido de la tesis. Comenzamos por una introducción a los temas y objetivos principales de este trabajo, precisando el contexto general del estudio realizado. Luego se proporciona un resumen, donde nos concentramos brevemente sobre el contenido de cada capítulo; por razones de espacio, sólo se detallan algunos de los resultados obtenidos. Finalmente, después de extraer algunas conclusiones generales, damos una lista de referencias.
 

Introducción general

     Todo problema de optimización está definido a partir de ciertas variables de estado, de restriccionessobre estas variables y de un criterio a minimizar. La motivación principal de esta tesis es el estudio asintótico de algunos métodos de aproximación para problemas de optimización cuando todos los datos del problema son convexos. El objetivo es contribuir con técnicas de análisis y nuevos métodos de optimización para obtener soluciones aproximadas de problemas no necesariamente diferenciables y eventualmente degenerados, es decir, en presencia de una multiplicidad de soluciones óptimas.
 

Optimización convexa:

     Matemáticamente, un problema de optimización se suele expresar como:

     Aquí,  representa la variable de estado (o variable de decisión) que pertenece a un espacio de Banach . El criterio a minimizar está dado por una función , la cual suponemos convexa. La introducción del valor  es una forma de incorporar implícitamente las restricciones en la definición de . Un ejemplo típico de esto último es una función de la forma:

      En este caso particular, las restricciones están definidas por el conjunto . Al hecho de no satisfacer las restricciones se le asigna un costo infinito. La convexidad de  equivale simultáneamente a la convexidad de la función y del conjunto de restricciones , y el problema  es equivalente a.
 

Soluciones exactas y soluciones aproximadas:

     Resolver el problema de minimización  significa:

     A un tal  se le llama solución óptima y al correspondiente , valor óptimo. Exceptuando ciertos casos muy particulares, en general no es posible resolver  de manera exacta, y uno se ve obligado a contentarse con soluciones aproximadas. Estas últimas satisfacen un criterio de suboptimalidad del tipo:

para alguna precisión . La eficacia de todo método de optimización para obtener tales aproximaciones dependerá tanto del tipo de problema al cual se aplica como de ciertas consideraciones sobre la unicidad de soluciones y la regularidad de los datos. En efecto, los métodos clásicos proporcionan "buenas" aproximaciones cuando el problema en cuestión posee una única solución óptima y las funciones que intervienen son suficientemente diferenciables. Cuando alguna de estas condiciones falla, lo que ocurre en diversas situaciones prácticas, las principales propiedades de estos métodos se pierden y, más aún, pueden aparecer serias dificultades numéricas al momento de su implementación computacional. El desarrollo de nuevos métodos y algoritmos es un tema interesante, cuyo estudio requiere un análisis cuidadoso y donde existe un vasto campo a ser explorado aún.
 

Métodos trayectoriales para obtener soluciones aproximadas:

     Un enfoque que ha recibido una atención creciente en los últimos años consiste en obtener soluciones aproximadas a partir de ciertas trayectorias que evolucionan hacia una solución del problema que nos interesa resolver. En el caso de la presente tesis, las trayectorias consideradas son de tres tipos:

1. Soluciones de un sistema dinámico disipativo asociado a una ecuación de evolución en el tiempo.
2. Trayectorias óptimas asociadas a la aproximación paramétrica de un problema de optimización.
3. Trayectorias dinámico-paramétricasque combinan (a) y (b).

     (a) Métodos dinámicos: La idea es considerar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
, o más generalmente , cuyas trayectorias  evolucionan en el tiempo y que, a largo plazo, convergen hacia un punto estacionario gracias a un fenómeno de tipo disipación de energía. Si los puntos estacionarios son los mínimos de una función, todo método de resolución de la ecuación diferencial puede interpretarse como un método de optimización. Un ejemplo clásico es el método de máximo descenso continuo, el cual consiste en resolver la ecuación de evolución:

donde denota el gradiente de una función , la cual suponemos diferenciable, y es un espacio de Hilbert real. Notemos que las soluciones de esta ecuación satisfacen:

     De este modo, la función a minimizar es decreciente sobre toda la trayectoria. Decimos que  se disipa a medida que el tiempo  crece. Observemos además que corresponde a una solución estacionaria  si y sólo si , que es precisamente la condición necesaria de optimalidad. Es así natural de esperar que las trayectorias  evolucionen en el tiempo hacia un punto estacionario, lo que en este caso corresponde a un mínimo de f.

     El método de máximo descenso continuo es sólo un ejemplo entre los muchos sistemas diferenciales que uno puede considerar. El estudio sistemático de tales sistemas tiene muchas ventajas. En primer lugar, un sistema continuo con buenas propiedades puede sugerir nuevos métodos iterativos asociados a la integración numérica de las trayectorias. Por otra parte, en algunas ocasiones es posible que las técnicas utilizadas en el caso continuo puedan ser adaptadas para obtener resultados concernientes a algoritmos discretos. En general, se espera tener un resultado del tipo:

• Convergencia en valor: cuando .
• Convergencia de las soluciones: Existe  tal que  cuando 

     En la práctica, la principal desventaja del método de máximo descenso es relativa lentitud en la convergencia de las trayectorias. Esto motiva el estudio de las versiones continuas de otros métodos. En el primer capítulo de la parte I de esta tesis, se estudia el comportamiento asintótico cuando  de algunas variantes del método de Newton continuo. En el capítulo 2, se considera un sistema de tipo gradiente de segundo orden en el tiempo, a diferencia del método de máximo descenso que es sólo de primer orden. Dado que la motivación es desarrollar algoritmos de optimización, al final del capítulo 2 se estudia teóricamente un método de discretización implícita de segundo orden.

     (b) Métodos de aproximación paramétrica: Una idea natural para tratar un problema de optimización  cuyos datos presentan ciertas irregularidades tales como no diferenciabilidad o pérdida de convexidad estricta (degenerancia), consiste en reemplazar las funciones que describen el problema original por aproximaciones que posean mejores propiedades. El problema así modificado se considera como una aproximación del problema original , y se espera que la(s) solución(es) del problema aproximado sean próximas a una solución de .

     Sea  la función objetivo que nos interesa minimizar e introduzcamos una aproximación , donde  es un parámetro, de modo tal que  cuando  es pequeño. Así, el problema de minimización original

se aproxima por

     Con frecuencia, es posible escoger la aproximación  de forma que posea buenas propiedades tales como coercividad y convexidad fuerte. Suponemos entonces que para cada  existe una única solución de , la que denotamos por . Esta hipótesis se verifica en diversas aplicaciones: métodos de penalización en programación lineal y no lineal, métodos de regularización, etc. El problema interesante es estudiar el comportamiento de  cuando . Buscamos un resultado de convergencia del siguiente tipo:

• Convergencia en valor: cuando 

 
• Convergencia de las soluciones: Existe  tal que  cuando 

     En la parte II de esta tesis, comenzamos por considerar en el capítulo 3 una técnica clásica de penalización para problemas de programación matemática conocida como el método de penalización exponencial. Con respecto a la dimensión infinita, en el capítulo 4 consideramos la aproximación  de una clase de problemas en . En ambos casos se establece una propiedad de selección del esquema de aproximación considerado, y se caracterizan las soluciones particulares obtenidas en el límite.

     En lo anterior, el problema que nos interesa resolver es , para lo cual se introduce una familia paramétrica de problemas  con buenas propiedades. Sin embargo, en muchas situaciones donde aparecen esquemas paramétricos, el problema que se quiere resolver es  para algún valor pequeño del parámetro . Esto último ocurre en los modelos matemáticos de ciertos fenómenos físicos cuya descripción requiere el uso de ciertos parámetros pequeños. En muchos de estos casos la resolución de  puede ser difícil. Con el fin de obtener una descripción aproximada del fenómeno real, la idea es estudiar el comportamiento asintótico de las soluciones cuando los parámetros tienden a cero.      De este modo, el problema  se puede interpretar como un modelo matemático límite para el caso "". Nos encontramos así ante la situación inversa de la anterior: nos interesa resolver , para lo cual se estudia su comportamiento asintótico cuando  lo que permite introducir un problema límite  que se espera sea más simple de resolver. Este tipo de análisis puede ser difícil debido a comportamientos singulares, discontinuidades, no linealidades y coeficientes crecientemente oscilantes. Las nociones de convergencia variacional para sucesiones de funciones que han sido introducidas en las ultimas décadas proporcionan un marco adecuado para estudiar este tipo de problemas; ver [ATT₁,DEG,DAL].

     En el capítulo 5, y final de esta tesis, se estudia un esquema de aproximación paramétrica del tipo recién descrito. Se trata de la homogeneización de materiales compuestos en elasticidad no lineal.En este caso se considera el modelo paramétrico de materiales compuestos y se estudia su comportamiento asintótico con el fin de obtener un modelo límite "más sencillo".

     (c) Combinación de los enfoques dinámico y paramétrico: Para finalizar esta introducción, notemos que los enfoques dinámico y aproximación paramétrica están fuertemente relacionados, no sólo por los resultados buscados sino que también por la metodología y las técnicas utilizadas. Supongamos que la aproximación  es diferenciable para . Una condición necesaria para la optimalidad es entonces . Bajo algunos requerimientos apropiados, el teorema de la función implícita permite asegurar que la trayectoria óptima es diferenciable con respecto a y, más aún, se tiene que

     De este modo, el camino óptimo satisface una ecuación diferencial; uno podría pensar en aplicar el enfoque dinámico para estudiar el comportamiento asintótico cuando  (lo que correspondería a hacer  luego del cambio de variable ). Sin embargo, debido a la naturaleza singular de esta ecuación en  (en general, la función límite será no diferenciable), el comportamiento asintótico de las trayectorias es delicado de estudiar. En lugar de utilizar los métodos clásicos de la teoría de ecuaciones diferenciales, nuestro enfoque consiste en aplicar métodos variacionales y de la teoría de optimización. Estos últimos parecen estar mejor adaptados a esta situación. Por otra parte, también es posible combinar ciertos métodos dinámicos con métodos de aproximación paramétrica. A modo de ejemplo, podemos mencionar el método de máximo descenso con esquemas de aproximación, que consiste en resolver el sistema diferencial

donde  es una función positiva que decrece a 0 cuando , por ejemplo  o  con . Ver [ATT-COM₁ ,COM,FUR-MIY,KEN,MCC].

     Al final del capítulo 1 (parte I), se introduce un nuevo sistema dinámico que considera la combinación del método de Newton continuo con esquemas de aproximación.
 

Resumen de la tesis

     Esta tesis está dividida en dos partes. La primera está dedicada al estudio de ciertos sistemas dinámicos disipativos en optimización, mientras que en la segunda parte se presentan algunos resultados nuevos sobre la aproximación paramétrica y análisis asintótico de problemas variacionales. A continuación proporcionamos un breve resumen de los cinco capítulos que componen este trabajo. La mayor parte de las definiciones y notaciones que utilizamos en lo que sigue son las usuales en Análisis Convexo; ver [EKE-TEM] o bien [ROC₁].
 

Parte I: Sistemas dinámicos disipativos y optimización
Capítulo 1: El método de Newton continuo.

     El primer capítulo de la tesis contiene un estudio de una versión continua del método de Newton. Consideremos una función  dos veces diferenciable donde  es un espacio de Hilbert. Recordemos que el método de Newton para minimizar  consiste en resolver iterativamente

     Es bien sabido que, bajo ciertas condiciones adecuadas, si el punto de partida  se encuentra lo bastante cerca de un minimizador local  entonces la sucesión  así generada converge a . Más aún, se tiene que  para una constante  (convergencia cuadrática). Cuando el método se inicia en un punto relativamente lejano de la solución, no hay ninguna garantía de convergencia. Una estrategia para resolver este inconveniente es introducir un paso de tamaño , escogido de manera adecuada para forzar la convergencia, lo que conduce a una iteración de la forma

     Este último esquema iterativo puede ser interpretado como una discretización explícita de

que llamamos método de Newton continuo. Lo anterior requiere que la matriz Hessiana , la cual contiene las segundas derivadas de , sea invertible. Esto se tiene en particular cuando es definida positiva, lo que implica que la función  es estrictamente convexa. Es fácil verificar que toda solución de (NC) satisface , y en consecuencia, . En el caso convexo, esto proporciona la siguiente caracterización variacional de las trayectorias asociadas al método de Newton continuo:

donde denota el producto interno en . Para esta caracterización no se requiere que  sea de clase  ni que tenga una matriz Hessiana  invertible, e incluso tiene sentido para funciones no difereciables (basta reemplazar  por cualquier  con  el subdiferencial de ). En este capítulo se demuestra la existencia global de una trayectoria  y que la función  es decreciente en . Cuando  es fuertemente convexa, se establece una tasa de convergencia exponencial de  hacia el único minimizador de . La convexidad fuerte y la diferenciabilidad de la función objetivo  son condiciones demasiado restrictivas en vista de las aplicaciones. Esto nos conduce a examinar el caso donde  se reemplaza por una familia paramétrica de funciones aproximantes . Habitualmente es posible escoger la familia de aproximaciones  de modo tal que para cada ,  sea diferenciable y fuertemente convexa, es decir, existe  tal que

     Bajo estas condiciones, para cada  existe un único minimizador de , el cual denotamos por . Inspirados por un trabajo previo de Attouch y Cominetti en el caso del método de máximo descenso continuo, introducimos aquí un nuevo método de Newton continuo aproximado. Más precisamente, la caracterización variacional de las trayectorias de Newton nos conduce de manera natural al siguiente problema de evolución no-autónomo:

donde  es una función positiva que decrece a 0 cuando . Esta ecuación combina una corrección de Newton con un término de extrapolación. La primera atrae la trayectoria hacia la solución exacta , mientras que el segundo término anticipa los eventuales cambios en el punto objetivo . Se tiene el siguiente resultado:
 

Teorema 1.- Para toda condición inicial , existe una única solución de (NCA) que satisface la siguiente estimación

En particular, si y la parametrización se escoge de modo tal que , entonces la trayectoria  converge a .

     En otras palabras, cuando  converge a 0 suficientemente lento entonces  se aproxima asintóticamente a la trayectoria óptima , definida por las soluciones exactas de los problemas aproximantes. La rapidez a la que la parametrización  debe converger a 0 se mide en términos del parámetro de convexidad fuerte  Estos resultados se ilustran a través de algunas aplicaciones a métodos de barrera y de penalización en programación lineal, y a métodos de viscosidad para problemas variacionales. Las estimaciones proporcionadas por este resultado permiten establecer resultados duales. También se dan comparaciones con los resultados conocidos para el método de máximo descenso, mostrándose que en general las tasas de convergencia son mucho mejores para el método de Newton.
 
 
 

Capítulo 2: Una ecuación de segundo orden de tipo gradiente

     El método de Newton tiene el gran inconveniente de hacer intervenir la inversa de la matriz Hessiana de la función objetivo, lo que puede significar en ciertos casos un esfuerzo enorme en términos de cálculo numérico. Es natural estudiar métodos que sólo consideren el gradiente de  para hacer los cálculos y cuyas trayectorias puedan ser aceleradas con respecto a las del método de máximo descenso. En este capítulo se estudia el comportamiento asintótico cuando  de las soluciones de la siguiente ecuación de segundo orden en el tiempo:

     El parámetro  es estrictamente positivo y la función objetivo se supone convexa y diferenciable. Este sistema diferencial se conoce comúnmente como oscilador no lineal amortiguado. Aunque ecuaciones diferenciales similares a ésta aparecen en diversas situaciones físicas con distintas interpretaciones, nuestra motivación aquí no proviene de ningún problema físico en particular si no más bien de la "tendencia" que tiene este sistema a disipar energía. En efecto, definiendo , entonces es directo verificar que en este caso

     En otras palabras, la energía es una función decreciente sobre . Es natural esperar que la trayectoria  evolucione en el largo plazo hacia un mínimo de la energía, lo cual corresponde a una solución estacionaria que satisface  y . De este modo, la resolución de esta ecuación diferencial puede interpretarse como un método de minimización para . El interés de este sistema es la posibilidad de impulsar las trayectorias con el fin de acelerar la convergencia, gracias a la naturaleza de segundo orden que posee la ecuación (la trayectoria posee cierta "inercia").

     Con respecto al comportamiento asintótico, en [HAR-JEN] se demuestra convergencia hacia un equilibrio en el caso de dimensión finita () y bajo la hipótesis de que  es analítica. Sin embargo, esta restricción es muy fuerte desde el punto de vista de la optimización. En este capítulo, se demuestra el siguiente resultado:

Teorema 2. Supongamos que es convexa y acotada inferiormente. Entonces ,  cuando  y . Más aún, si el conjunto de minimizadores Argmines no vacío, entonces existe Argmin tal que  (débilmente) encuando . Esta convergencia es en norma, i.e. , si la función es par  o bien si el interior del conjunto Argmines no vacío.

     Consideremos ahora la discretización de esta ecuación diferencial. Recordemos primero que el método Proximal en optimización convexa consiste en resolver el siguiente esquema iterativo:

     En este caso, >0,  es una función convexa, semicontinua inferior y propia. (Prox) se puede interpretar como una discretización implícita del método de máximo descenso continuo. Bajo condiciones muy generales, es posible demostrar que la sucesión converge hacia un minimizador de ; ver [GUL] y [ROC₂].

     Una desventaja importante de los métodos de tipo gradiente como (Prox) es su relativa lentitud en la convergencia, propiedad que viene heredada de su versión continua. En el caso particular del sistema diferencial estudiado en este capítulo, su discretización implícita nos conduce a considerar el siguiente algoritmo iterativo, el cual es válido aún en el caso no diferenciable:

     Los parámetros satisfacen  y , la función  es convexa, semicontinua inferior y propia. Notemos que cuando , y tomando , se recupera el método Proximal. Por otra parte, tomando  es posible impulsar la sucesión con el fin de acelerar la convergencia. Bajo ciertas condiciones sobre los parámetros, se establecen resultados de convergencia similares al caso continuo. Más precisamente, se tiene:

Teorema 3. Supongamos que es convexa, semicontinua inferior, propia y acotada inferiormente. Sea  una sucesión generada por el método a dos pasos anterior, con:

(i)  y  es acotada inferiormente por una constante positiva.

(ii) La sucesión es no creciente.

Entonces . Más aún, si Argmin es no vacío, suponemos además que:

(iii)  y  es acotada.

Entonces existe  tal que (débilmente) cuando .
 
 
 

Parte II: Aproximación de problemas variacionales
Capítulo 3: La penalización exponencial

     Consideremos el problema de optimización en programación matemática:

donde cada  es convexa. Bajo condiciones apropiadas, es posible asegurar a priori la existencia de una solución óptima, la cual no necesariamente es única. Sin embargo, en general no es posible calcular de manera exacta una solución de este programa convexo. La pregunta natural es cómo obtener una buena aproximación de una solución. El método de la penalización exponencial consiste en resolver para  fijo el siguiente problema sin restricciones

     Observemos que si se define  entonces

donde  es el conjunto de restricciones. Bajo ciertas hipótesis generales, se puede probar que para cada  el problema penalizado posee una única solución óptima, la cual denotamos por . Se espera que cuando  sea "suficientemente pequeño", la solución  del correspondiente problema penalizado proporcione una buena aproximación de una solución óptima del programa convexo original (antes de penalizar). De este modo, la convergencia de  cuando  es una cuestión interesante tanto desde el punto de vista teórico como del práctico en lo que se refiere al estudio y eventual implementación de este método. Esta convergencia está bien determinada cuando el programa convexo original admite una única solución. En el caso en que existe una multiplicidad de soluciones, lo que ocurre en muchas ocasiones, la convergencia no está en absoluto asegurada pues en principio toda solución óptima es un candidato potencial a ser límite de la trayectoria de soluciones aproximadas . Sin embargo, sobre la base de resultados similares para otros esquemas de aproximación, es natural preguntarse si el método de penalización exponencial tiene la propiedad de seleccionar en el límite una solución particular del problema original. El primer resultado positivo en este sentido fue dado en [COM-SAN]. En ese artículo, la penalización exponencial en programación lineal fue estudiada cuidadosamente, demostrando la trayectoria óptima  converge hacia una solución particular del problema original, llamada el centroide de la cara óptima. Esta solución particular se caracteriza mediante ciertas propiedades analíticas y variacionales que la distinguen de las otras soluciones óptimas. El objetivo de este capítulo es extender este resultado a una clase bastante general de programas convexos no lineales, sin asumir condiciones de unicidad o de segundo orden, lo que constituye la novedad de este trabajo.

Teorema 4. Supongamos que todas las funciones que constituyen los datos del programa convexo satisfacen la siguiente propiedad: si  es constante sobre el segmento con , entonces  es constante sobre toda la recta que pasa por los puntos  e . Entonces para todo  el problema penalizado admite una única solución y, más aún,

donde  es una solución particular del programa convexo original.Esta solución particular, que llamamos minimizador absoluto, se caracteriza como la única solución de un esquema jerárquico de problemas de tipo minimax.

     Así, este método tiene el interés de seleccionar una única solución óptima, la cual satisface ciertas propiedades variacionales que la distinguen del resto. También se obtienen resultados de convergencia dual.
 
 
 

Capítulo 4: Soluciones locales Para problemas en  mediante aproximación 

     En este capítulo se estudia un esquema de aproximación paramétrica en dimensión infinita, el cual presenta ciertas similitudes con el método de penalización exponencial estudiado en el capítulo 3. Sea  una abierto acotado que representa una región del espacio. Consideremos el siguiente problema:

donde  es la frontera de ,  es una función dato y la incógnita es una función lipschitziana , i.e.  tal que . Como siempre se tiene que , una solución de este problema no es otra cosa que una extensión lipschitziana de la función  desde  a toda la región , de modo tal que la constante de Lipschitz asociada sea mínima. Este problema, que fue estudiado por primera vez en [ARO], se conoce como el problema de extensión lipschitziana minimal y, por analogía con el caso  y el problema de Dirichlet, es considerado como el problema fundamental del cálculo de variaciones en . Problemas similares aparecen en muchas aplicaciones cuando el modelo se plantea naturalmente en espacios de tipo . Este es el caso de algunos problemas de ingeniería estructural tales como el diseño de columnas y otras estructuras donde debe minimizarse el esfuerzo o la deformación maximales. Otro ejemplo lo constituye el control optimo de las temperaturas maximales en un sistema termodinámico. Este problema de optimización no es diferenciable y es débilmente convexo, y por lo tanto admite en general una multiplicidad de soluciones óptimas. Un punto de vista que ya ha sido considerado consiste en reemplazar este problema por su análogo 

     Este último problema es más regular que el problema original. Más aún, para cada  existe una única solución óptima, que denotamos por , que se caracteriza por ser la única solución de la ecuación del -laplaciano con condiciones de Dirichlet

donde . Debido a que la norma en  converge a la norma en , se espera que para  "suficientemente grande" la correspondiente solución  proporcione una buena aproximación del problema original. El problema que nos interesa es la convergencia de la aproximación  cuando , lo que es delicado de estudiar debido a la no unicidad de soluciones del problema límite. Esta cuestión fue resuelta en [JEN], donde se prueba que existe una solución particular  del problema de extensión lipschitziana tal que  cuando . Más aún, esta solución límite satisface la siguiente propiedad variacional: para todo abierto ,

     Debido a esta propiedad de optimalidad local, a  se le llama extensiónlipschitziana minimal absoluta.

      En algunas situaciones, el criterio que debe ser minimizado está dado por una función no homogénea. Es el caso del diseño óptimo de estructuras mecánicas a partir de materiales compuestos. Esto nos conduce a considerar en este capítulo problemas de la forma:

donde la norma usual se reemplaza por una función de crecimiento lineal con respecto a . Aproximando este problema por su análogo  se obtiene:
 

Teorema 5. Bajo ciertas hipótesis técnicas sobre el núcleo , del tipo regularidad y convexidad con respecto a , se tiene que para todo  existe una única solución  de
 
 

la sucesión generalizada  es equicontinua y acotada en , cada valor de adherencia  de  es una solución óptima de  y . Más aún, para todo abierto se satisface:
 
 

     De este modo se generaliza parcialmente el resultado conocido en el caso homogéneo. Sin embargo, aún queda abierto el problema de la convergencia de toda la trayectoria de soluciones aproximadas , lo que equivale a probar que esta trayectoria admite un único valor de adherencia. La conjetura es que similarmente a lo que ocurre en el caso homogéneo, la propiedad de unicidad local debería ser suficiente para tener unicidad del límite.
 
 
 

Capítulo 5: homogeneización de materiales compuestos en elasticidad no lineal

     Por material compuesto entendemos aquellos materiales, naturales o sintéticos, que a escala microscópica poseen una estructura heterogénea (combinación de diversos materiales) pero cuyo comportamiento macroscópico es homogéneo. A modo de ejemplo podemos mencionar el vidrio, cerámicas, aleaciones de metales, etc. El estudio de esta clase de materiales por parte de las ciencias de la ingeniería ha tenido un gran impulso en las últimas décadas, teniendo un fuerte impacto tanto en el ámbito teórico como tecnológico. Desde el punto de vista de las ciencias de los materiales, el análisis matemático de los modelos teóricos de tales materiales presenta grandes desafíos.

     Sea  un abierto regular de  que representa la región del espacio ocupada por un material. Si dicho material es homogéneo, su energía almacenada tiene la forma

donde  es un campo de desplazamientos. Si el material está sometido a una distribución de fuerzas  y los desplazamientos en la superficie son conocidos, entonces para determinar la configuración de equilibrio se debe resolver el siguiente principio de minimización de energía:

     Cuando la densidad de energía depende también del punto en la región , decimos que el material es heterogéneo. En el caso de los materiales compuestos, se tiene que los diversos componentes son distinguibles a una cierta escala microscópica definida por un parámetro. Para simplificar el modelo, se suele suponer que los componentes están distribuidos periódicamente dentro de la región. Todo esto nos conduce a considerar un principio de minimización de energía de la forma

     Aquí se supone que para todo  la función  es - periódica, lo que significa que basta conocerla en la celda unitaria para conocerla en todo el espacio. De este modo se modela un material elástico, no homogéneo y periódico que ocupa una región finita del espacio definida por . Si  es muy pequeño, entonces la estructura microscópica de la estructura se vuelve muy complicada. El problema que surge es cómo describir el comportamiento macroscópico del material, lo que corresponde matemáticamente a hacer . Si a escala macroscópica el material se comporta de manera homogénea, entonces se espera que cuando  el problema anterior "tienda" a un problema del tipo
 
 

donde  es una densidad límite que corresponde a una suerte de material homogéneo ideal, el cual se genera a partir de una mezcla de materiales a escala microscópica. Cuando esto ocurre así se dice que un proceso de homogeneización ha tenido lugar. Para resultados en este sentido ver [A-L-M,ATT₁,DAL,MULL].

     En el capítulo final de esta tesis se considera la situación más general de una familia paramétrica de densidades periódicas  donde  es un vector de parámetros. En este caso, el principio de minimización

determina la configuración de equilibrio de un material elástico, no homogéneo y periódico de escala microscópica , y además el vector de parámetros  describe ciertas propiedades del material como la rigidez o el espesor de ciertas componentes; ver [LIC-MIC]. Como antes, queremos describir el comportamiento macroscópico del material. Sin embargo, en muchas situaciones físicas pasar de la escala microscópica a la macroscópica requiere hacer , es decir, todos los parámetros tienden a cero simultáneamente. En este capítulo se proporcionan algunas condiciones suficientes que aseguran que en este caso multiparamétrico también ocurre un fenómeno de homogeneización. En otras palabras, se obtiene un resultado del tipo:

Teorema 6. Bajo ciertas hipótesis sobre el comportamiento del modelo cuando , se tiene que cuando las soluciones y valores óptimos de los correspondientes principios de minimización de energía convergen hacia una solución y valor óptimos de un problema homogéneo del tipo .
 
 
 

Conclusiones

     En el desarrollo y estudio de algoritmos de optimización, el enfoque dinámico posee varias ventajas. Un sistema continuo con buenas propiedades sugiere su utilización como método de optimización a partir de la integración numérica de las trayectorias continuas. Además, en algunas ocasiones es posible adaptar las técnicas utilizadas en el caso continuo para obtener resultados concernientes al algoritmo discreto asociado. Varios de los resultados se enuncian en un nivel de abstracción que permite su aplicación en otros contextos, tales como la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y otros problemas de evolución.

     Por otra parte, los métodos de aproximación en optimización aparecen como una herramienta particularmente eficaz para el estudio de problemas mal puestos en unicidad o con datos irregulares. Tales problemas provienen de las más diversas áreas de las matemáticas aplicadas, desde la programación matemática hasta el cálculo de variaciones. La idea fundamental consiste en seleccionar una solución particular del problema original como límite de una trayectoria de soluciones óptimas de una familia parametrizada de problemas aproximantes. La solución así obtenida habitualmente posee propiedades variacionales importantes que la distinguen del resto.

     Ambos puntos de vista están estrechamente relacionados. En el caso de los métodos de aproximación, aún cuando es posible describir la trayectoria como una solución de una ecuación diferencial, parece ser que los métodos variacionales y de la teoría de optimización están mejor adaptados a esta situación que los métodos clásicos de la teoría de ecuaciones diferenciales.
 
 
 

Bibliografía

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