Nota Introductoria

I

     El artículo aquí traducido fue publicado por vez primera en 1710. Apareció en "Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum". Nuestra versión, casi literal, respeta la puntuación del autor y considera la edición de C.I. Gerhardt (G.W. Leibniz: Mathematische Schriften, Band V, pp. 377-382; Georg Olms Verlag 1971; ver Apéndice).
 

II

     A primera y simple vista, a lo largo del texto, Leibniz da rienda suelta a su virtuosismo formal. Una mirada más cuidadosa discierne una peculiaridad: la analogía sólo existe en virtud del simbolismo. De suerte que el hallazgo y el lenguaje florecen al unísono. Este pensamiento excede los términos afianzados por una doble vertiente. Encierra en sí, más allá del dilema, diversas perspectivas posibles cuya unidad parece apropiado indicar.

     El tópico tratado es simple. Hoy en día un scholar y un escolar pueden estudiarlo con la misma soltura. En cada caso, sin duda, han de diferir los ecos y las resonancias.

     En pocas palabras:

• Sean las potencias del binomio.

• Considérense las diferenciales de x:

• Los desarrollos de pⁿ(x+y) y de dⁿ(xy) son similares.

     Esta modificación notacional posee un alcance inesperado. De ella se desprende el concepto de operador: un cálculo puede llevarse a cabo sin tomar en cuenta la cantidad, verbigracia el tipo de expresión, sobre el cual aquél se aplica. (Véase, G.W. Leibniz: "La naissance du calcul différentiel – 26 articles des Acta Eruditorum", Introduction, traduction et notes par Marc Parmentier, Paris, J. Vrin, 1989; p. 415 y passim) Conviene traer a capítulo una idea arraigada en el pensador alemán: si los signos expresan de modo conciso la naturaleza exacta de una cosa favorecen el descubrimiento.

     La lectura del libro de Florian Cajori "A History of Mathematical Notations" (Dover ed., 1993. 1^era. ed., Open Court Pub. Co., 1928) basta para sopesar en su justa medida el alcance de la frase "The leading rôle played by Leibniz in the development of mathematical notations induces us to present a complete survey of all the mathematical symbols used by him" (op. cit., Vol. II, p. 180).
 
 
 

IV

     En el caso de las potencias propongo una variante.

     En la expresión

hágase 

Se obtiene:

De idéntica manera, en  sea:

Entonces

etc.

     Los coeficientes, en estos desarrollos, corresponden a filas de los triángulos de E. Lucas.

     Cabe suponer que el filósofo de Hannover hubiese apreciado este divertimento.
 
 
 

V

     Al estudiar los desvíos de este pensamiento se construye una suerte de lugar geométrico mental donde confluyen atisbos y fragmentos de otros pensadores. Luego se cae en cuenta de que tal sitio es, propiamente, una construcción de Leibniz. Como si esas pistas, esas huellas hubiesen sido puestas por él para sugerir una perspectiva propicia en virtud de la cual percibir lo pensado equivale a señalar la posibilidad misma de pensar.
 
 

Simbolismo notable del cálculo algebraico e infinitesimal para una comparación de potencias y diferencias y acerca de la ley de homogeneidad trascendental.

     Así como es fácil encontrar la potencia de una cantidad, así mediante una ley fija podemos encontrar la diferencia o el elemento. Pero el regreso de la potencia a la raíz por extracción y el regreso de la diferencia al término por suma no siempre es posible.

     Así como la imposibilidad de la extracción buscada mediante números racionales lleva a cantidades sordas, así la imposibilidad de la sumatoria buscada mediante cantidades algebraicas lleva a las cantidades transcendentes cuya consideración ya otrora introdujimos en el análisis.

     En efecto como a menudo las cantidades racionales son presentadas por medio de una raíz o irracionalmente puedan ser reducidas, así a menudo las cantidades algebraicas o bien ordinarias son presentadas por medio de trascendentes, aunque a la fórmula ordinaria esté permitido reducirlas.

     De esta manera mucho media entre las cantidades y las fórmulas.

     Pero cierta analogía más oculta subyace entre las potencias y las diferencias, la cual será preciso exponer en ese lugar.

     En primer lugar compararemos las potencias del binomio (o de las sumas de dos términos) con las diferencias de un rectángulo (o bien el producto de dos factores) y después (dado que la analogía permanece) brevemente daremos una ley común tanto a las potencias de un polinomio cualquiera como a las diferencias del producto de factores cualesquiera. Pero las potencias así como las diferencias tienen sus exponentes, los que indican el grado de la potencia o la diferencia. Y así en pos de una analogía más clara, dado que dx, ddx, d³x significa la diferencia primera, segunda y tercera, así representaremos en este lugar a x, xx, x³ por p¹x, p²x, p³x, esto es por la potencia primera, segunda, tercera de la misma x. Y p^e(x+y) significará la potencia del mismo x + y según el exponente e, asimismo d^e(xy) significa la diferencia de xy según el exponente e.

     Sea pues el binomio x + y, su primera potencia, si se puede decir, o el grado si se prefiere, o que tiene un exponente 1, es la cantidad misma, o la raíz o el mismo binomio x + y, y de tal modo p¹(x + y) = x + y, pero la potencia segunda o el cuadrado del mismo x + y, o p²(x + y) será = 1xx + 2xy + 1yy, y el cubo o potencia tercera del mismo x + y o p³(x + y) es = 1x³ + 3xxy + 3xyy + 1y³ y el bicuadrado o potencia cuarta del mismo x + y o p⁴(x+y) es = 1x⁴ + 4x³y + 6xxyy + + 4xy³ + 1y⁴. Y en general se encontrará que una potencia cualquiera de x + y o p^e(x + y) es  + , etc., donde la sustracción considera números crecientes en unidades. Así si e = 3 o e – 3 = 0, se desvanece el término en el cual está e-3 y todos los que le siguen. Así cuando sea e = 3, se hará .

     Sea

,

donde hay que señalar que x⁰ o y⁰ o bien p⁰x, p⁰y, u otra potencia de cualquier cantidad, cuyo exponente desaparece o se hace 0, se convierte en la unidad. Pues si ponemos en orden las cantidades de la progresión geométrica , los exponentes correspondientes estarán en progresión aritmética -3, -2, -1,01,2,3, de donde . La fórmula general para la potencia del binomio puede escribirse así:

     Vengamos ahora a las diferenciaciones, mostremos que sucede allí lo mismo, basta poner en lugar de x+y, xy y d en lugar de p. Por lo tanto, lo primero , como en otro momento mostramos, cuando propusiéramos hace muchos años por vez primera el cálculo diferencial, desde este único fundamento todo el resto del cálculo de las diferencias puede demostrarse. Pero ese mismo fundamento así es demostrado:  es la diferencia entre , o mejor dicho entre el rectángulo propuesto y el próximo. Si bien es , de donde si se resta xy, se obtiene ; pero puesto que dx o dy es incomparablemente menor que x o y, también dxdy será incomparablemente menor que xdy y ydx, por eso es descartado y finalmente se obtendrá: . Por otra parte  y , ciertamente donde la diferencia es nula, y  es dx, , por esto se podrá escribir . Pero ahora no explico las variaciones que pueden resultar en los signos cuando x aumenta y disminuye, o cuando de alguna de las diferencias por ejemplo dx o dy, resulta una cantidad negativa, tratando la cosa de modo general cabe la posibilidad de cambiar los signos en casos especiales donde corresponde. Continuemos con las diferencias segundas: . Entonces a partir del cálculo precedente  en efecto reemplacemos dx por z entonces ddx=dz, y resultará d(ydx)=d(yz)=(por el cálculo precedente)ydz+zdy=yddx+dxdy y por lo mismo resultará d(xdy)=dxdy+xddy.

     Por consiguiente agrupando, resultará  en suma como el cuadrado de x+y o sea xx+2xy+yy, en suma como .

     La cual analogía entre la diferenciación y la elevación a una potencia se observa constantemente de continuarse la potenciación (o elevación de la potencia) y la diferenciación. En efecto para una nueva elevación de la potencia del binomio el todo precedente es multiplicado tanto por y como por x, y en el primer caso es aumentado en una unidad el p correspondiente a y, y en el caso siguiente el p correspondiente a x: así al diferenciar, se diferencia el todo precedente a la vez respecto de x y respecto de y, en le primer caso se aumenta en una unidad el d correspondiente a y, y en el segundo al d correspondiente a x.

     Por ejemplo si multiplicamos  por y resulta  pero si multiplicamos aquello por x resulta  y del mismo modo si diferenciamos  respecto de y resulta  pero si diferenciamos respecto de x resulta .

     De lo cual se sigue que,  es, o en la manera corriente de escribir . Y generalmente -como poco antes para las potencias empleamos la letra p,- así ahora al diferenciar mediante la letra d se tiene:

     Y aun más, la misma analogía ocurrirá entre potencias de multinomios y las diferencias de una combinación o los resultados de un mayor número de factores, así como entre la diferencia  de tres términos y la potencia  de un trinomio, siempre cuando siga siendo verdadero. Al elevar una fórmula a la potencia superior o al diferenciarla el exponente de p o de d se aumenta en una unidad en cada letra y una nueva fórmula recoge todos los resultados.

     En el pasado encontré una regla general para los coeficientes de un polinomio cualquiera elevado a una potencia, por lo tanto la misma regla será válida para los coeficientes numéricos de la fórmula que expresa la diferenciación de un producto de muchos factores.

     Por otra parte los coeficientes numéricos en las potencias no son otra cosa que los números de transposiciones, que las letras exhiben en la fórmula o en le término al cual el coeficiente numérico está prefijado, así como para  o para le cubo de  resulta:

en este caso el coeficiente de todos los  es 3, porque puede escribirse como xxy, xyx, yxx; y el coeficiente de todos los xyz es 6, porque puede escribirse como yxz, xyz, xzy, yzx, zxy, zyx; pero el coeficiente de todos los  es 1, porque en xxx la transposición nada cambia.

     En otra parte mostramos acertadamente el modo de encontrar el número de transposiciones de la forma propuesta.

     Con el fin de conservar la analogía con las diferencias, se escribirá el cubo o la tercera potencia de x+y+z así:

     Por lo tanto, del mismo modo la diferencia tercera de xyz se presentará así:

     Es evidente que en la nueva manera de escribir aparece la analogía entre las potencias y las diferencias, la cual en la corriente (aquí expuesta después) no aparece. Lo admirable es que esta analogía se extienda para que mediante esta manera de escribir también  y  se asemejen y de verdad, pues

y

     También aparece en el mismo trabajo, lo que es la "Ley trascendental de los homogéneos" que en un modo corriente de escribir las diferencias no se reconoce. Por ejemplo, con esta nueva forma de Característica empleada aparecerá addx y dxdx no sólo algebraicamente (en tanto que, en una y otra parte ambas cantidades son llevadas hacia sí recíprocamente) sino también trascendentalmente serán homogéneas y comparables entre si, puesto que aquél puede ser escrito , éste , y de una y otra parte los exponentes diferenciales concluyen en la misma suma, pues 0+2=1+1. Por lo demás, la ley de los homogéneos transcendentales presupone la corriente o algebraica.

     En tanto, no todas las formas transcendentes son igualmente aptas de por sí para la suma, aunque sean homogéneas entre sí. Por ejemplo adxddx es sumable de una manera acabada pero dxdxdx o , homogénea la primera tanto algebraica como trascendentalmente, no es sumable, a no ser que se añada una suposición cualquiera.
 

Agradecimientos

     La gentileza, la atención y la minucia del Dr. Heinz-Jürgen Hess y de Frau Ingrid Dietsch (Niedersächsische Landesbibliothek, Hannover) deben ser aquí recordadas.

     Este trabajo ha sido financiado, en parte, por Fondecyt (Proyecto 1990672).
 

Apéndice

     Presentamos aquí el texto original de Leibniz. Tal vez algún amateur de lenguas clásicas se distraiga cotejando nuestra versión y este latín tardío.