Introducción.

     La formulación original del principio de incertidumbre, en términos de la interacción entre el dispositivo de medición y el sistema a observar (1), resumida en la célebre desigualdad :
 

(1)

()(px) /2

fue posteriormente generalizada por Robertson (2), de acuerdo a la formulación axiomática de la Mecánica Cuántica y a las propiedades de los operadores hermíticos en el espacio de Hilbert.

     Si A, B, y C son operadores hermíticos que satisfacen la relación de conmutación :
 
 

(2)

A , B  = i C

entonces es válida la desigualdad :
 

(3)

(a )2 (b)2C/2

en que a y b son las variables dinámicas asociadas a los operadores A y B , respectivamente.
( a )² y ( b )² son las variancias de los valores correspondientes a los observables
a y b ( (a)² = a²- a² ,
por ejemplo), y el símbolo  indica el valor medio del operador o de la variable
(  C  = C  ).
La derivación de (3), a partir de (2), puede hallarse en gran parte de los textos de uso corriente ( 3 , 4 , 5 ).
 

     La validez de (3) se halla no sólo restringida al carácter hermítico de A, B, y C, frente a la base funcional  , sino también a la hermiticidad de A frente a la función B , y a la de B frente a A. Los operadores escalares multiplicativos, como las coordenadas y las constantes, son obviamente hermíticos y pueden considerarse como múltiplos del operador de identidad si se desea mantener la coherencia del formalismo. Las condiciones señaladas puden resumirse en las siguientes igualdades :
 

(4)

A  = A * B= B* AB= B*A*= B* A*

     El asterisco implica conjugación. La falta de acuciosidad para examinar las condiciones de validez de la relación de incertidumbre puede traducirse en la construcción de relaciones intrínsicamente incorrectas o de discutible sentido físico.

     La finalidad de este artículo es analizar algunas situaciones delicadas relacionadas con el principio de incertidumbre, sobre todo las que aparecen al expresar los operadores en coordenadas no cartesianas, o al asociar la variable tiempo con un operador hermítico. Por otra parte, resulta también didáctico ilustrar algunas aplicaciones en los típicos sistemas monocorpusculares con que los textos ejemplifican la resolución de la ecuación de ondas.
 

Operadores mecanocuánticos.

     El operador que corresponde a la variable dinámica de posición es la coordenada correspondiente ( r , x, , etc ). El operador asociado a la posición es evidentemente hermítico, ya que su acción es solo multiplicativa. Por estensión, el operador de energía potencial, V(r ), posee la misma característica.

     Al momemtum p le corresponde el operador gradiente :
 
 

(5)

p = -i Ñ

     Cada una de las componentes cartesianas del momemtum, i.e. p_q = -i  ( q = x,y,z ) es un operador hermítico en el espacio de las funciones f(q) del espacio de Hilbert. En coordenadas generalizadas los operadores de las componentes del momemtum no son necesariamente hermíticas y su construcción implica cierta ambivalencia en la expresión final (6, 7, 8 ), que vale la pena detenerse a examinar. Si expresamos como p_k las componentes del momemtum referidas a las corrdenadas cartesianas q_k , y como P_k las correspondientes en un sistema de coordenadas generalizadas Q_k, entonces la transformación de un sistema a otro viene dado por :
 

(6)

Pk =  ( j ,k = 1,2,3 )

o también :
 

(7)

Pk =

     Clásicamente, las expresiones (6) y (7) son idénticas, dada la conmutatividad existente entre p_j y /. En Mecánica Cuántica esto no es efectivo, puesto que p_j es un operador diferencial. Así entonces, (6) y (7) dan lugar a dos operadores diferentes, si se sustituye p_j por -i/. A partir de (6) obtenemos :
 

(8)

Pk = -i  = -i /

y, a partir de (7) :
 

(9)

Pk+ = -i = -i  = - i

o, en forma equivalente (10 ) :
 
 

(10)

Pk+ = -i  (

en que J es el jacobiano de la transformación q_k Q_k. El operador P_k⁺ es el adjunto de P_k (7).

     En coordenadas polares esféricas ( J = r² sen ) , (9) y (10) dan lugar a :
 
 

(11)

Pr = - i /        P  = -i /       P = -i / Pr+ = -i  (//)        P+= -i  (/)        P+ = -i/

     En este caso, sólo la componente P( = P⁺) es un operador hermítico. Los restantes no lo son, y por consiguiente, no pueden considerarse asociados a ningún observable del sistema. Por otra parte, las combinaciones :
 
 

(12)

= ½ ( Pr + Pr+ ) = -i  ( ½ ( P+P+) = -i

son operadores hermíticos, pero resulta discutible su sentido físico respecto a representar las componentes radial y angular en del sistema. Lo anterior por cuanto su construcción no contempla la conversión directa de la expresión clásica a la cuántica por el único camino formal autorizado, cual es el de reemplazar el momemtum por el correspondiente operador. Si bien a cada observable se halla necesariamente asociado un operador lineal y hermítico, lo opuesto no es estrictamente exigible, y los operadores  pudiesen muy bien no representar ninguna variable dinámica en especial. Resulta, por otra parte, poco alentador aceptar que, en rigor, sólo la componente  goza de la cualidad de observable del sistema, y no así  y . No obstante lo anterior, el producto escalar P_Q⁺P_Q es siempre hermítico, correspondiendo al observable p²_Q :
 

(13)

P2r = P+rPr = -  P2 = P+P= -  P2 = P+P= -

     De igual manera, la energía cinética, en coordenadas generalizadas :
 

(14)

T = p2/2m = P+j gjk Pk

es, indudablemente, un operador hermítico ( T = T⁺ ). En coordenadas polares esféricas, las componentes del tensor métrico son : g^ij = 0 ( para ij ) y g¹¹ = 1, g²² = 1/r² , g³³ = , entonces :
 
 

(15)

T = -  = -

como cabía esperar de (5).

     El momento angular, que clásicamente corresponde al producto vectorial : L = r x p , se traduce en los familiares operadores hermíticos para sus componentes cartesianas:
 

(16)

Lk = -i  (

en donde , representan una secuencia cíclica de las coordenadas x, y, z.

     Nótese que la expresión, en coordenadas esféricas, de la componente en z del momento angular, es idéntica a la componente P del momemtum.

     En coordenadas polares, las componentes del momento angular son :
 
 

(17)

Lr = 0        L= P        L+= P+ L=        P =        P+= L+

La componente en  del momento angular carece, desde el punto de vista de la Mecánica Cuántica, de sentido físico, salvo que se supusiese asociada al operador hermítico : ½ ( L⁺+ L) = ½ ( P⁺+ P) =  , construcción que, como ya vimos, no está expresamente autorizada.
 

Relaciones de incertidumbre.

     La no conmutatividad entre los operadores de posición y momemtum conjugado, y entre las componentes del momento angular, dan lugar a una serie de interesantes y familiares relaciones de incertidumbre ( ver Tabla 1). En coordenadas polares, aunque rigen relaciones de conmutación análogas a las indicadas en la Tabla 1, no es posible derivar productos de incertezas a partir de (2) y (3), dado el carácter no hermítico de los operadores P_r y P, y sus correspondientes adjuntos, así como la ambigüedad en el sentido físico de los operadores hermíticos  y . Para la coordenada , donde no se presenta la dificultad señalada, al conmutador  = i , correspondería : , de acuerdo a (3). Esto implicaría que si el sistema está descrito por una función propia de P ( como podría serlo el conjunto e^im, o, en general, las armónicas esféricas Y_l,m( ),  es obviamente cero, con lo que debiera ser infinitamente grande. Esta conclusión es evidentemente ilógica, por cuanto no es posible aceptar un  superior a 2. Para la armónica esférica Y_l,m(, en que la dependencia en  está dada por la función normalizada , tenemos :

= 

     El valor máximo de  es entonces. El problema radica en que si bien P, o lo que es lo mismo L_z, es un operador hermítico en la base Y_l,m, no lo es frente a la función Y_l,m(11) y, por consiguiente, no se cumple con las exigencias señaladas en la Ec.(4). La expresión correcta para el principio de incertidumbre entre  y L_z debe entonces asegurar un  cuando  sea cero. Un análisis matemático riguroso de la situación permite llegar a la expresión : 
 
 

(18)

derivada originalmente por Bouten et al. (12). La desigualdad (18) garantiza la incerteza máxima  para .

Conmutador	Producto de incertezas
	(

     Aceptando que, de alguna manera, los operadores  y  representan las componentes radial y angular en  del momemtum, es posible derivar relaciones de incertidumbre análogas a las de la Tabla 1 :
 
 

(19)

a)  b)

     Las funciones radial y angular del átomo de hidrógeno, que podría ser un buen sistema físico para comprobar las relaciones (19), no son funciones propias de o , respectivamente, lo que nos evita la paradoja de un  o de un infinitamente grande.

     Siendo las relaciones de incertidumbre consecuencia directa de la formulación axiomática de la Mecánica Cuántica, deben cumplirse para cada uno de los sistemas monocorpusculares típicos en la enseñanza de la Química Cuántica. 

     Examinemos, al respecto, cada una de estas situaciones :
 

A) La partícula en la caja monodimensional de longitud L, con V = 0 en 0 y V =  en .

     La solución general del problema estacionario es :

y E_n = n²h²/8mL² ( n = 1,2,3,...)

     Los valores medios requeridos ( en el rango 0 < x < L ) son :
 

< x > =

< x2 > =

<  > = 0

<  =

 

de aquí: 

y 

con lo que : 

     El producto es mayor que  , cumpliéndose el principio de incertidumbre.
 

B) El oscilador armónico simple (  y V =  ).

     La solución general es :

E_n =  ( n = 0,1,2,... )

es un polinomio de Hermite de grado n en la variable  , con

     Para cualquier estado, los valores medios de posición y momemtum son :

entonces :  y 

con lo que :  , como era de esperar.
 

C) El rotor rígido, con V = 0.

     Las soluciones generales son las armónicas esféricas Y_l,m, 
con energías 

La situación correspondiente a  y L_z ( donde  ya fue examinada anteriormente (Ec.(18) ). Para la pareja L_x, L_y, en un estado descrito por la por la función Y_l,m, tenemos :

luego : 

     Este producto es siempre mayor, o a lo sumo igual (cuando  ) a la cantidad  exigida por la relación de incertidumbre (Tabla 1). 

     Asignándole al operador  la variable dinámica  podemos examinar la relación . Sea, por ejemplo, un estado descrito por la función 

Y_1,0 =  , entonces :

con lo cual :  > 
 

D) El átomo de hidrógeno.

     Lo interesante aquí son las propiedades radiales, ya  que la parte angular de la función de onda es la armónica esférica Y_l,m(, igual que en el rotor rígido. Considerando el estado fundamental :

R_1s(r ) = tenemos :  y  con  ( nótese que la incerteza en la distancia es el 58% del valor medio). Aceptando que  representa la componente radial del del momemtum, obtenemos :

       
y, por lo tanto :  >
 

Relación de incertidumbre incluyendo el tiempo.

     De acuerdo a la ecuación general de Schrödinger, el hamiltoniano es identificable con el operador .

     Este operador no conmuta con la variable t (  ) y, aparentemente,   y  aparecen cumpliendo una relación de conjugación análoga a la existente entre la posición x y el momemtum . Podría parecer entonces justificable el aceptar un principio de incertidumbre del tipo :
 
 

(20)

     Esta relación fue propuesta originalmente por Bohr y es frecuentemente mencionada y aceptada en numerosos textos (3,4,5 ). Independientemente de lo familiar que resulta, la Ec. (20) no puede demostrarse por el formalismo de la teoría y su carácter es esencialmente heurístico. La razón es simple.Tanto en la Mecánica Cuántica no relativista, como en cualquier otra teoría física, el tiempo es un parámetro universal y no una variable dinámica especial del sistema. Más aún, el tiempo no está referido a ningún sistema en cuestión (13). En otras palabras,no pertenece a la familia de operadores hermíticos del espacio de Hilbert, no posee, por consiguiente, un conjunto particular y completo de funciones propias ortonormales; por último,  es siempre cero, puesto que, en cualquier estado, , dado el carácter multiplicativo de . Es evidente que el tiempo no puede ser considerado como la variable canónica conjugada de la energía. La Ec.(20) es, entonces, ajena a la axiomática de la Física Cuántica. Cualquier conclusión de naturaleza física que se quiera obtener de ella, es objetable. En la práctica, no obstante, (20) es bastante empleada en la interpretación del decaimiento radiactivo y en el estudio de los anchos de línea espectrales; en estos casos,  se interpreta, no como una desviación standard, sino como la vida media del estado caracterizado por la función . Incluso a la luz de esta interpretación, la desigualdad en cuestión no es deducible a partir de los principios de la teoría (13).

     La incorporación del tiempo en las relaciones de incertidumbre puede efectuarse, manteniendo la coherencia axiomática, mediante una propiedad A del sistema, que no dependa de  en forma explícita, pero cuyo valor medio varíe con el tiempo (14). Así, tenemos :
 

(21)

 

(22)

     La expresión (22) representa una versión rigurosa del principio de incertidumbre entre energía y tiempo (15).

     Para cualquier estado dependiente de las coordenadas y del tiempo , la función de onda general es :
 

(23)

 
 
 

en donde es la función espacial, representando la exponencial la dependencia temporal. Los valores medios de cualquier operador, en el estado 

son siempre estacionarios, puesto que  . No obstante, para un estado descrito por la combinación lineal :
 
 

(24)

(  reales )

en donde cada una de las  son diferentes, el valor medio de A resulta ser una función del tiempo : 
 
 

(25)

con 

y, por lo tanto :
 
 

(26)

con lo que :
 
 

(27)

     Consideremos, como ejemplo, un estado del oscilador armónico simple caracterizado por la función :

en donde :  y 

con  y 

     Si la variable  representa a la coordenada x, tenemos :

con lo que :  y 

luego : 

por otra parte :  y 

con lo cual :  y :
 
 

(28)

     De acuerdo a la Ec. (27), debiera cumplirse, en este caso :
 
 

(29)

     Restando (28)-(29), obtenemos : que es siempre mayor que cero, en perfecta concordancia con lo esperado. En cada instante ,  es  y la incerteza en la posición alcanza el valor mínimo  ; en los instantes en que  , el valor medio de x es 0, y  alcanza su valor máximo .

     Una situación equivalente a la anterior, con un sentido más químico, se aprecia en los casos de estados atómicos descritos por orbitales híbridos. En un enfoque localizado, el sistema sigma del metano (CH₄) se interpreta formulando una base de cuatro híbridos sp³ para la capa de valencia del C. El híbrido orientado en la dirección z es :

o bien : 

(para el C ,  es aproximadamente 70800 cm^-1 (16) )

     Expresando las funciones radiales 2s y 2p en términos de los orbitales de Slater (17), obtenemos los siguientes valores medios :

para el híbrido tenemos, entonces :

y 

en donde  es la carga nuclear efectiva y .

     La incerteza en z resulta ser :

     La incerteza mínima se tiene en los instantes , con un valor , correspondiente a . El valor máximo de la incerteza en z es , en cada instante  (, correspondiente al valor medio . 

     Empleando el valor = 3,25 (17) y , tenemos :

para  y 

y para  y 

     La densidad electrónica en el híbrido no es estacionaria a lo largo del eje z, variando periódicamente, punto por punto, con incertezas que exceden en alto grado los valores medios calculados para la posición.
 

Referencias.

1) Heisenberg W.; Z.. Phys. 42 , 172 (1927)

2) Robertson H.P.; Phys. Rev. 34, 163 (1929)

3) Merzbacher E.; "Quantum Mechanics"; Wiley and sons N.Y. (1961) 

4) Margenau H.-Murphy G.M "Las Matemáticas de la Física y la Química"; Ed. Epesa (Madrid) (1952) 

5) Schiff L.I.; "Quantum Mechanics"; Mac Graw Hill N.Y. (1949)

6) Villaseñor P.- Cisneros J.; Am. J. Phys. 49, 754 (1981)

7) Gruber R.; Found. Phys. 1, 227 (1971)

8) De Witt B.S.; Phys. Rev. 85, 653 (1952)

9) Spiegel M.; "Vector Analysis"; Schaum Publ. Co. N.Y. (1959)

10) Leaf B.; Am. J. Phys. 47, 811 (1979) 

11) Roy C.L –Sannigrahi A.B.; Am. J. Phys. 47, 965 (1979)

12) Bouten M. –Maene M.-Van Lauren P.; N. Cimento 37, 1119 (1965)

13) Bunge M.; Can. J. Phys. 48, 1410 (1970)

14) de la Peña L.; Am. J. Phys. 48, 775 (1980)

15) Mandelstam L.-Tamm.I.; J. Phys.(USSR) 9, 249 (1945)

16) Basch.H-Viste A.-Gray H.B.; Theor. Chim.Acta 3, 458 (1965)

17) Meruane T.; Ciencia Abierta 5, (1999).