Mecánica |
Prof. Patricio Cordero S. |
| Auxs: Teresa Valdivia y Germán Fernández |
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Controles: C1: 12 abril
C2: 10 mayo
C3: 14 junio Examen: 3 de julio (E214 y G305) Recuparativo: 12 de julio |
.. NP = Nota Presentación = (C1+C2+C3+C4)/4 .
.. Si NP ≥ 5.5 está liberado de rendir el examen y NF = NP y si
no, entonces
.. NF = (NP)*0,6 + (Nota Examen)*0,4 .
.. Aprobado si NF ≥ 3,95.
.. Puede rendir examen recuperatuivo si 3.65 ≤ NF ≤ 3.94.
[13-17 marzo] 1 ♦1♦ Se muestra un ejemplo de vector posición en coordenadas cartesianas. Luego se resuelve un ejemplo en que los datos son la posición inicial y la velocidad todo el tiempo. Se define velocidad angular y velocidad areolar (área barrida por unidad de tiempo). Se resuelve un ejemplo y se deja planteado otro. 2 ♦2♦ Se define coordenadas cartesianas y cilíndricas y en ambos casos se ve la forma de los vectores posición, velocidad y aceleración. Se ve la idea de variable de arco s, el vector unitario tangente, el radio de curvatura. Se plantea el caso de un punto que asciende por un manto cilíndrico de modo que tanto la velocidad angular como la velocidad vertical son constantes.
[20-24 marzo] 3 ♦1♦ Se define el vector momentum lineal y se plantean formalmente las tres leyes de Newton. Se habla que las fuerzas de contacto sólido-sólido son normal y roce. Y se inicia estudio de ejemplos sin roce. Partícula que desliza por vara horizonal que gira en torno a eje vertical con ω constante. Las fuerzas son el peso y las normales. Luego se ve caso con partícula que cae por curva helicoidal (de eje vertical) debido a su propio peso. 4 ♦2♦ Se inicia formalismo de muchas partículas, masa total, posición y velocidad del centro de masa. De las ecuaciones de movimiento para c/u se obtiene la ecuación para el centro de masa. Se distingue entre fuerzas internas al sistema y externas, se arguye que la internas suman cero por lo tanto la fuerza total sobre el sistema es la suma de las fuerzas externas. Se analiza en detalle dos ejemplos.
[27-31 marzo] 5 ♦1♦ Se define momento angular y torque para sistema de partículas. Se demuestra que la variación temporal del momento angular de un sistema de partículas interactuantes está regida por el torque de las fuerzas externas. Se analiza en cierto detalle un par de ejemplos. El segundo de ellos es el caso de una partícula P2 que desliza sin roce por un plano horizontal unida a un hilo que cruza un agujero en el plano de modo que otra partícula, P1, cuelga de otro extremo del hilo. ♦2♦ Un fuerte resfrío me impidió hacer clases.
[3 - 7 abril] 6 ♦1♦ Se analiza el péndulo esférico: se obtiene la expresión para el momento angular y para el torque que le produce el peso. De lo anterior se obtiene la ecuación dinámica y se hace uso que la componente vertical del momento angular es constante. El resultado es una ecuación para en ángulo θ. Casos particulares son el péndulo cónico y el plano. Se estudia el caso de una masa extendida: un semicírculo de radio R que oscila en torno a su centro y en su propio plano. 7 ♦2♦ Fuerzas centrales. Segunda ley de Kepler. Mención de la ley de gravitación universal. La fuerza de un resorte con expremo fino como fuerza central. Fuerzas de roce. Dos ejemplos con roce estático: masa unida a resorte que se va estirando; partícula ``estática'' en interior de superficie cilíndrica que gira con velocidad angular decreciente.
[10 - 14 abril] ♦1♦ -- paro -- ♦ C1 8 ♦2♦ Se estudia el caso de un péndulo apoyado en un plano inclinado. Hay roce deslizante. A partir de condiciones iniciales sencilla ae obtiene el ángulo en que se detiene por primera vez. Se plantea la noción de roces viscosos. Primero se ve el roce viscoso lineal y con él se (a) determina la trayectoria de un proyectil; (b) se ve caso de una partícula en un riel circundefencial. Se obtiene el ángulo que alcanza a barrer hasta que se detiene. Luego se analiza el caso de una partícula que desliza por un plano inclinado (hay gravedad) existiendo tanto roce sólido como roce viscoso lineal.
[17 - 21 abril] 9 ♦1♦ Se define roce viscoso cuadrático en movimiento 1D sin gravedad y también con gravedad analizando separadamente el ascenso del descenco. Se comienza el capítulo de trabajo y energía. Se define una fuerza sencilla muy particular y se calcula el trabajo por dos caminos diferentes. 10 ♦2♦ Veo ejemplo de partícula en riel circunferencial sobre la que actua un roce deslizante y un roce viscoso cuadrático. Se obtiene la velocidad angular función del tiempo y se plantea el cálculo del trabajo de la fuerza total desde el comienzo hasta un tiempo arbitratio. Se define fuerzas conservativas: pueden expresarse como menos el gradiente de la energía potencial. Se deja ejemplos para verificar y se plantea ejemplo de masa P1 que cuelga de resorte y de ella cuelga P2 con otro resorte.
[24 - 28 abril] 11 ♦1♦ Energía y ecuación de movimiento. Energía de péndulo extendido semicircular. Se plantea fuerzas centrales y se demuestra que son conservativas. Se obtiene la energía potencial asociada a la fuerza de atracción gravitacional. Se demuestra que el cambio en la energía mecánica total desde un estado inicial a uno final es igual al trabajo de las fuerzas no-conservativas. Sin muchos detalles (por falta de tiempo) se ve el caso 1D de una partícula en plano inclinado sometida a las fuerzas: de un resorte, de su peso, de la normal en presencia de roce deslizante. 12 ♦2♦ Se definió potencia y se demostró que la variación de la energía mecánica total es la potencia de la fuerza no conservativa. Brevemente se vio el caso la variación de la potencia de una partícula que se mueve en un medio viscoso y no hay otras fuerzas. .. Se inicia el capítulo de pequeñas oscilaciones. Se analiza primero un caso 1D con una energía potencial U(x) con máximos y mínimos. Se muestra que en torno a mínimos puede haber pequeñas oscilaciones con frecuencia determinada por segunda derivada de U(x) y, en el caso de más con una coordenada, se comenta sobre los puntos silla. Se deja planteado un caso menos trivial.
[1 - 5 mayo] 13 ♦1♦ Se ve ejemplo de dos partículas y dos poleas unidas por hilo de largo fijo. Se desmuestra que el sistema tiene pequeñas oscilaciones. Se discute ejemplo con dos masas en línea unidas entre sí y a las paredes. Se obtiene problema de autovalores. Se plantea que en muchos casos se tiene problema del tipo segunda derivada temporal de vector es igual a matriz por el mismo vector. Luego se da una mirada al caso de oscilaciones forzadas por fuerza externa periódica y el caso de resonancias. 14 ♦2♦ Se comienza con caso de partícula que cuelga de resorte cuyo otro extremo está en un techo que oscila verticalmente. Luego se discute el oscilador amortiguado viéndose que hay dos casos según el valor de las constantes. En un caso no hay oscilaciones y en el otro sí las hay. Se sigue con el caso de un oscilador amortiguado y además forzado por una fuerza externa oscilante. Se demuestra que la solución consta de dos términos: un témino oscilante cuya amplitud decrece con el tiempo y una segunda parte que es oscilante con amplitud fija. (En próxima clase se comienza fuerzas centrales y planetas).
[8 - 12 mayo] 15 ♦1♦ Principalmente se
responde preguntas para del C2. Se inicia fuerzas centrales y planetas.
C2 16 ♦2♦ Conservación de
momento angular. Noción de potencial efectivo,
[22 - 26 mayo] 17 ♦1♦ En la ecuación para el caso de fuerzas centrales se una el inverso del radio como variable dependiente obteniendo la ecuación de Binet. Se ve que el caso gravitacional se convierte en una ecuación trivial tipo w''+w = cte. En el caso gravitacional se obtiene ecuación para cónicas con excentricidad e y variable radial R. Se trabaja en particular el caso del sistema solar. Se plantea ejemplo de dos satélites, uno con órbita circunferencual y el otro con órbita elíptica que chocan en el punto de radio mínimo de la elipse uniéndose en uno solo. Se resume los resultados, que se dejan como trabajo personal. 18 ♦2♦ Se analiza movimiento con potencial U=aBra donde B es constante positiva. Se deduce radio de órbitas circunferenciales junto a su velocidad angular ωcirc y la frecuencia ωpo de pequeñas oscilaciones del valor del radio para soluciones muy próximas a la solución circunferencial. Se demuestra que ωpo2/ ωcirc2 = a+2 que es cuadrado perfecto si a=-1 (gravedad) y si a=2 (potencial armónico). Se comienza capítulo de movimiento relativo. Se obtiene la ecuación maestra que, entre otros términos contiene los de fuerzas centrífiga, Coriolis y trasversal. Se bosqueja ejemplo muy sencillo.
[29 mayo - 2 junio] 19 ♦1♦ Caso 1. A analiza el movimiento 2D de un planeta en torno al Sol usando tanto un sistema inercial centrado en el Sol y un sistema cuyo eje X' sigue al planeta. Se demuestra que las fuerzas de Coriolis y trasversal se cancelan y se obtiene ecuación diferencial para el radio. Caso 2. Se estudia los efectos sobre la atmófera debido a la rotación de la Tierra. Se muestra que la aceleración centrífuga es pequeña comparada con la aceleración de gravedad. Se calcula la fuerza de Coriolis en distintas latitudes argumentándose que los vientos y corrientes marinas dominantes en los océanos se deben a ella. Por ejemplo, en el Pacífico frente a Chile la corriente viene del sur, cerca del ecuador se desvía hacia el oeste, lejos se desvía hacia el sur teniéndose así una circulación permanente. ♦2♦ -- paro --
[5 - 9 junio] 20 ♦1♦ Se estudia el caso de una nave espacial toroidal que gira con velocidad angular Ω tal que a nivel del "suelo" se siente gravedad g. Se analiza objeto que cae, a partir del ``reposo'', en la nave, obteniéndose cómo cae y cuánto tarda en caer desde cierta altura. Se inicia capítulo sobre sistemas y cuerpos rígidos. Se calcula momento angular de un sistema sistema rígido de partículas y de un cuerpo extendido continuo, lo que conduce a definir la matriz de inercia. Se analiza sistema con punto fijo. 21 ♦2♦ Se calcula la matriz de inercia de un sistema rígido formado por tres masas en los vértices de un triángulo equilátero y se obtiene la ecuación de un péndulo plano que tiene como al sistema anterior como "masa". Luego otro sistema muy parecido pero con un rectángulo dejándose de tarea muchos de los detalles. Se bosqueja el caso de un cilindro de altura h, radios interno/externo R1 y R2 respectivamente.
[12 - 16 junio] 22 ♦1♦ Se responde muchas preguntas relativas a la materia del control #3. Se analiza el caso en que un cuerpo tiene un eje fijo. lo que lleva a definir un momento escalar de inercia con respecto a un punto P es ese eje. C3 23 ♦2♦ Se presenta el teorema de Steiner y la idea de matriz de Steiner. Se ve el caso de cuerpo con eje fijo de rotación que conduce a definir un momento de inercia escalar asociado a un eje fijo. Se obtiene, como corolario del T. de Steiner la relación entre estos momentos de inercia escalares asociados a un punto P y al centro de masa G que conduce a un "corolario de Steiner". Se deja como trabajo personal el caso de un pédulo plano cuya masa al extremo de un brazo de largo L es un cilindro, cuyo eje coincide con la dirección del brazo.
[19 - 23 junio] 24 ♦1♦ Se ve el caso de una semicircunferencia con densidad de masa λ que tiene su centro de curvatura fijo al origen. Se obtiene la matriz de inercia y se analiza en particular el caso en que el sistema oscila en su propio plano. Se plantea el caso de un disco de radio R que está en el extremo de un brazo de largo L y perpendicular al eje. Se obtiene la matriz de inercia y, suponiendo conocida la velocidad angular del disco en torno a su propio eje y que el eje, en su movimiento barre un cono, se reduce la ecuación de movimiento a una condición sobre los parámetros del sistema. 25 ♦2♦ Se ve el caso de semicircunferencia con densidad uniforme y masa total M que rueda oscilando. Se calcula su energía cinética y potencial. De imponer que la energía es constante se obtiene la ecuacián de las oscilaciones. Luego se analiza el caso de un cuerpo rígido con un punto fijo obteniándose la energáa cinética del cuerpo. Se obtiene la ecuación para un cuerpo (anillo, cilindro, esfera ...) que rueda por una pendiente plana debido a su propio peso. Se analiza un péndulo cónico doble. Se deduce su matriz de inercia y su momento angular. De paso se obtiene la velocidad angular que debe tener con respecto a eje vertical para permanecer cónico.
[26 - 30 junio] 26 ♦1♦ Se habla de coordenadas generalizadas y se da la noción del principio de Hamilton utilizando el funcional de acción S[q] y se plantea como una integral sobre el tiempo de un lagrangeano L, donde L depende de las coordenadas gereralizadas, sus velocidades y eventualmente depende en forma explícita del tiempo. Se obtiene las ecuaciones de Euler-Lagrange y se trabaja una lista de ejemplos. Fin.